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Exponentialfunktionen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Exponentialaufgaben

Sonja92 aktiv_icon

19:42 Uhr, 29.11.2010

Hallo zusammen,

ich rechne teilweise für die Mutter von einer Freundin von mir, Aufgaben von ihrem Bruder, damit die Mutter mit ihm lernen kann.

Nun stehe ich vor einem Problem. Momentan nimmt er Exponentialfunktionen durch und das sind Aufgaben die ich noch nie zuvor selber gemacht habe.

Er ist in der

10

Klasse

(G 8),

ich habe mich in der

8 + 9

mit anderen Dingen beschäftig, wie zum Beispiel Wahrscheinlichkeitsrechnung oder die Vorbereitung zu ZAP.

Hier nun die Aufgaben:

1)

Bei der Markteinführung interessanter neuer Produkte schnellen die Verkaufszahlen oft schnell in die Höhe. Ein bekanntes Beispiel ist die Zahl der Handybesitzer in den 90er Jahren.

Hier eine Tabelle für die Jahre

1992

bis

2002

Jahr

| 1992 | 1993 | 1994 | 1995 | 1996 | 1997 | 1998 | 1999 | 2000 |

Handys

| 1

| 1,8 | 2,5 | 3,8 | 5,6 | 8,3 | 13,9 | 23,5 | 48,1 |

(Angaben in Mio.)

Untersuchen Sie, ob sich diese Entwicklung näherungsweise durch eine Exponentialfunktion modellieren lässt.

Mein Ansatz:

\frac{f (1993)}{f (1992)} = \frac{1,8}{1} = 1,8

das habe ich mit den anderen Werten auch gemacht, bei den nächsten vier Ergebnissen kam jeweils ungefähr

1,5

raus, bei den letzten drei unterschiedliche Werte.

Die Ergebnisse weichen von

0,17 - 0,5

voneinander ab

Heißt das nun, das die Entwicklung näherungsweise durch eine Exponentialfunktion modelliert werden kann, oder eher nicht?

2)

Die barometrische Höhenformel

Der Luftdruck nimmt mit steigender Höhe exponentiell ab. In Meereshöhe beträgt der Luftdruck unter Normalbedingungen 1013hPA (Hektopascal). In

5336 m

Höhe herrscht nur noch der halbe Druck.

a)

Stellen sie die Exponentialfunktion

D (H)

auf, die den Luftdruck in einer Höhe von

h

Metern angibt.

b)

Wie viel Prozent des Luftdrucks in Meereshöhe herrscht in 1 km Höhe?

c)

Dem Atlas können Sie für einige Berge in ihrer nähreren oder weiteren Umgebung die Höhenangaben entnehmen. Berechnen Sie für diese Berge den Luftdruck im Gipfel.

3)

eine wie ich vermute leichtere Aufgabe

Zeigen Sie, dass die angegebenen Punkte auf dem Grapehen einer Exponentialfunktion der Form

f (x) = a^{x}

liegen und geben Sie den zugehörigen Funktionsterm an.

a) (0 | 1); (1 | 3); (3 | 27)

bräuchte hierbei nur einmal ein Beispiel (vllt. diese erste Teilaufgabe) um zu wissen wie man das rechnet, denn diese Aufgaben verlaufen ja eigentlich immer nach Schema F.

Eine etwas idiotische Frage, aber was genau bedeutet der Wert a ? Und wie könnte ich diesen aus einem Graphen ablesen? Ist das der Punkt in dem der Graph die y-Achse schneidet?

Und wie genau kann ich bei einem Graphen der Exponentialfunktion den Funktionsterm ablesen?

4)

Auf einer Rolle mit Endlospapier, die

15

cm breit ist, soll der Graph der Funktion

f (x) = 2^{x}

über dem Intervall von 0 bis

15

gezeichnet werden. Wie lang muss das Papier sein, wenn die Einheit auf beiden Achsen 1 cm beträgt?

Lautet die Lösung einfach

2^{15}

? also

= 32768

cm

Letze Frage:

Vom Graphen einer Funktion der Form

f (x) = c \cdot a^{x}

sind zwei Punkte gegeben. Bestimmen Sie

c

und a

Bin wie folgt vorgegangen:

(2,4 | 3,7)

(5,1 | 9,2)

1)

f (2,4) = 3,7

c \cdot a^{2,4} = 3,7

a^{2,4} = \frac{3,7}{c}

a =

2,4te Wurzel aus

(\frac{3,7}{c})

sorry für die Schreibweise

a = \frac{1,7}{c}

2) f (5,1) = 9,2

c \cdot a^{5,1} = 9,2

a \in 2)

einsezten

c \cdot {(\frac{1,7}{c})}^{5,1} = 9,2

\Leftrightarrow c \cdot 14,97 (c^{5,1}

\Leftrightarrow \frac{14,97}{c^{4,1}}

\Leftrightarrow \frac{14,97}{9,2} = c^{4,1}

\Leftrightarrow 4,1

te Wurzel aus(14,97(9,2)=c

\Leftrightarrow 1,13 = C

C

in 1)einsetzen

a = \frac{1,7}{1,13} = 1,5

ist der vorgang so richtig?

Danke schon einmal für eure Antworten.

und sorry für die Länge

=)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

MBler07 aktiv_icon

21:22 Uhr, 29.11.2010

Hi

aufgrund der Menge gebe ich erstmal nur kurze Antworten.

1)

Darstellung einer Exp.fkt.(Bsp.):

y = a^{x}

Setze einen Punkt ein und berechne

a

. Danach nimmst du noch einen anderen und berechnest wieder

a

. Beide

a' s

sollten etwa gleich sein.

2)

Hier wähle ich die Form

p (h) = p_{0} \cdot a^{h}

.
Also Druck in Abhängigkeit einer gewissen Höhe. Dabei ist

p_{0} = 1013

b)

Setze in der obigen Formel

h = 1000

c)

Berechne den Druck in verschiedenen Höhen.

3)

Siehe

1)

Es gibt keine idiotischen Fragen...
"was genau bedeutet der Wert a "
Gute Frage. Das ist halt die Basis der Funktion. Am Graphen ablesen kannst du den (glaube ich) nicht. Nur berechnen.

"Ist das der Punkt in dem der Graph die y-Achse schneidet?"
Nein. Kannst dir ja mal überlegen warum und an welchem Punkt eine Funktion der Form

y = a^{x}

die y-Achse schneidet.

4)

steht ja schon alles da.

Letzte Frage)
Mach doch einfach mal eine Probe.

Ich hoffe das hilft dir etwas. Ansonsten sag bitte etwas konkreter, wo du Probleme hast.

Grüße

Sonja92 aktiv_icon

20:13 Uhr, 30.11.2010

Also eigentlich habe ich alles verstanden ;-)

Jetzt trotzdem noch ein paar Fragen, nur für die Richtigkeit

=) :

Zu der

1)

Aufgabe:

Meine Antwort:

Es liegt kein Exponentielles Wachstum vor, da die Wachstumskonstanten zu unterschiedlich sind.

zu der

2)

irgendwie bin ich zu blöd das zu rechnen, denn bei mich wäre keine Änderung des Luftdrucks in 1 km höhe.

Letzte Frage)

Ist der Vorgang so richtig?
Und das Ergbnis für diese Aufgabe?
Ich vermute das ich die Probe falsch durchführe?

und eine allgemeine Frage noch

Wie kann ich den Funktionsterm durch ablesen bestimmen?

Danke schon einmal für euer Antworten

=)

MBler07 aktiv_icon

22:01 Uhr, 30.11.2010

1)

Sehe ich anders:

y = a^{x}

1992

ist das 0. Jahr. Also ist

1994

das zweite.

2,5 = a^{2} \to a = 1,581

1995

3,8 = a^{3} \to a = 1,560

1996

5,6 = a^{4} \to a = 1,538

2000

48,1 = a^{8} \to a = 1,62

Und das sehe ich für reale Messwerte als ausreichend ähnlich an.

2)

Wie sieht denn deine Funktion aus (mit eingesetzten Werten). Wie rechnest du?

Letzte Frage)
Das Vorgehen ist richtig. Das Ergebnis leider nicht. Richtig:

a = 1,4

b = 1,64

Ich habe die erste Gleichung nach

c

umgestellt. Find ich so einfacher.
Dein Fehler ist, dass du vergessen hast aus

c

die 2,4te Wurzel zu ziehen.

Die Funktion kann man

m . M . n -

. nicht direkt ablesen, sondern nur berechnen. So wie bei diesen Aufgaben auch durch einen Punkt.

Sonja92 aktiv_icon

22:07 Uhr, 01.12.2010

2)

ich setze folgendes ein:

Die Frage ist ja, Wie viel Prozent des Luftdrucks in Meereshöhe herrscht in 1 km Höhe?

Dein Hinweis:

für

h = 1000

einsetzen

p (1000) = 1013 \cdot a^{1000}

a = 1

Formel dann aufgelöst kommt dann ja wieder

1013

raus?

Denke ich falsch?

MBler07 aktiv_icon

22:19 Uhr, 01.12.2010

Wie kommst du auf a?
Ich habe

a = 0,99987

. In diesem Fall sollte das nicht gerundet werden.

Alternativ kannst du acuh

5,336

km nutzen. Dann "entfernt" sich a weiter von 1.

Sonja92 aktiv_icon

22:24 Uhr, 01.12.2010

a =^{1000} \sqrt{1013}

MBler07 aktiv_icon

22:33 Uhr, 01.12.2010

Genau. So hab ich auch gerechnet. Noch Fragen?

Sonja92 aktiv_icon

22:35 Uhr, 01.12.2010

mein Taschenrechner sagt da leider:

1,006944675

was ja

\approx 1

entspricht

dann kann ich ja schlecht den Prozentualen Anteil bestimmen.

MBler07 aktiv_icon

22:42 Uhr, 01.12.2010

Hab leider nicht genau genug gelesen. Stimmt leider nicht.

Du hast angegeben, dass in

5336 m

Höhe der Luftdruck nur noch die Hälfte beträgt. Also:

\frac{1}{2} \cdot 1013 = 1013 \cdot a^{5336}

a = \sqrt[5336]{0,5}

a = 0,99987

Bzw

\frac{1}{2} \cdot 1013 = 1013 \cdot a^{5,336}

a = \sqrt[5,336]{0,5}

a = 0,878183

Im übrigen ist

~ 1

nicht genau 1. Du musst aufpassen, dass du nicht zu starl rundest.

Sonja92 aktiv_icon

22:55 Uhr, 01.12.2010

Nochmals, vielen Dank für deine Hilfe ;-)

Deine Erklärungen und Hinweise sind immer

1 A

Schönen Abend noch!

MBler07 aktiv_icon

22:59 Uhr, 01.12.2010

Vielen Dank. Dir auch.

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