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Exponentialfunktionen

Schüler

Tags: entstehung, stauchen, verschiebe

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17:33 Uhr, 20.03.2013

Hallo und zwar komme ich nicht weiter.
Ich soll erklären, wie die Funktion aus der gegebenen Funktion entsteht.
Gegebene Funktion:

f (x) = e^{x}

f (x) = e^{- (x + 2)} - 1

Das Minus sagt doch, dass ich den Grafen an der yAchse spiegeln muss.
Die 2 sagt doch, dass ich den Grafen dann um 2 nach links verschieben muss.
Und die

- 1

sagt, dass ich den Grafen nach unten (um

1)

verschieben muss.

Das heißt doch dann für den ersten gegebenen

f (x)

Wert:

- f (x) \cdot e^{2} - 1

So würde man doch beim einsetzen eines alten Wertes den neuen Wert für die veränderte Funktion bekommen.
Aber irgendwo ist ein Fehler.
Für eine schnelle Hilfe wäre ich sehr dankbar.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

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17:40 Uhr, 20.03.2013

Transformationsgesetze:

Spiegelung an y-Achse:

f (x) \to f (- x)

e^{x} \to e^{- x}

Verschiebung um

- 2

entlang der x-Achse:

f (x) \to f (x + 2)

e^{- x} \to e^{- (x + 2)}

Verschiebung um

- 1

entlang der y-Achse:

f (x) \to f (x) - 1

e^{- (x + 2)} \to e^{- (x + 2)} - 1

. .

. führe also nacheinander die Trandformationen durch.

;-)

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18:45 Uhr, 20.03.2013

Dann wäre das für

f (x) = 2 \cdot e^{- 0,5 (x - 1)} - 2

Spiegelung an der

y

Achse.

f (x) = e^{- x}

Verschieben um 1 auf der

x

Achse nach rechts.

f (x) = e^{- (x - 1)}

Strecken um 2

f (x) = 2 e^{- (x - 1)}

Stauchen um

0,5

f (x) = 2 e^{- 0,5 (x - 1)}

Und verschieben auf der

y

Achse um

- 2

f (x) = 2 e^{- 0,5 (x - 1)} - 2

Wäre das richtig?

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19:26 Uhr, 20.03.2013

. .

. beim Strecken um den Faktor 2 entlang der X-Achse wird ja der Funkt.-wert von

\frac{x}{2}

bei

x

abgebildet.

Somit:

f (x) \to f (\frac{x}{2})

Diese Streckung erfolgt von

x = 0

in beiden Richtungen. Also erst strecken, dann verschieben, sonst werden die Transf.-gesetze komplizierter, dito bei

y :

Das wäre dann:

Spiegeln:

e^{- x}

Strecken in x-Richtung:e^-(x/2)

Verschieben um

+ 1 \to x : e^{- (\frac{x - 1}{2})} = e^{- (\frac{1}{2} \cdot (x - 1))}

Strecken in y-Richtung

(f (x) \to 2 \cdot f (x)) : 2 \cdot e^{- (\frac{1}{2} \cdot (x - 1))}

Verschieben in y-Richtung:

2 \cdot e^{- (\frac{1}{2} \cdot (x - 1))} - 1

...somit war ein Fehler bei deiner Stauchung.

;-)

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19:35 Uhr, 20.03.2013

Aber ich will doch auf die

f (x) = 2 e^{- 0,5 (x - 1)} - 2

kommen.
Was soll ich jetzt also immer zuerst machen?
Zuerst spiegeln und dann Strecken in eine Richtung, danach in diese verschieben.
Als zweitens in die andere Richtung Strecken und dann verschieben.
Oder?

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12:27 Uhr, 21.03.2013

. .

. upps, die 1 ist wohl noch vom vorigen Beispiel hängen geblieben.

Ich würde immer erst spiegeln und strecken, dann erst die Verschiebungen ausführen.

Bedenke, Spiegeln ist im gewissen Sinnen eine Streckung (Faktor

- 1)

Bsp.

Spiegelung/Streckung an

y,

dann an

x,

Verschiebung

y,

Verschiebung

x

f (x)

\to \pm n_{y} \cdot f (x)

\to \pm n_{y} \cdot f (\pm n_{x} \cdot x)

\to \pm n_{y} \cdot f (\pm n_{x} \cdot x) + y_{v}

\to \pm n_{y} \cdot f (\pm n_{x} \cdot (x - x_{v})) + y_{v}

Dein Beispiel:

2 \cdot e^{- 0,5 \cdot (x - 1)} - 2

entspräche dann:

n_{y} = 2

(keine Spiegelung an

y,

Streckung um Faktor

2)

n_{x} = - \frac{1}{2}

(Spiegelung an

x,

Streckung um Faktor

\frac{1}{2})

x_{v} = 1

(Verschiebung um

+ 1

in x-Richtung)

x_{v} = - 2

(Verschiebung um

- 2

in y-Richtung)

;-)

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11:32 Uhr, 24.03.2013

Aber die Funktion wird doch nicht an der xAchse gespiegelt, sondern an der yAchse. Oder?
Dann müsste es doch so gehen:
Streckung um

2 (\in y

Richtung)
Spiegelung an yAchse
Stauchung in

y

Richtung um

\frac{1}{2}

Verschieben um 1 nach rechts ( entlang der xAchse)
Verschieben um

- 2

(entlang der yAchse)

Wäre das so richtig?

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12:10 Uhr, 24.03.2013

. .

. sorry, da hab' ich mich klar verschrieben. Dies zeigt aber, dass du das Thema verstanden hast.

wenn wir mit Faktor

n_{y}

strecken bzw. bei negativem Wert strecken

+

spiegeln, dann natürlich an der X-Achse.

Hatte nur allgemein Spiegelung/Streckung mittels

n_{y}

gemeint, aber nicht die Spiegelung an

y

.

Analog der Faktor

n_{x}

. Dieser streckt entlang der x-Achse, und bei negativem

n_{x}

wird natürlich an y-Achse gespiegelt.

;-)

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12:52 Uhr, 24.03.2013

Also ist meine Reihenfolge so in Ordnung?
Jetzt habe ich aber noch kurz ne weitere Frage.
Wie wird aus

f (x) = e^{x}

der Term

f (x) = - e^{2 x}

Der wird doch zuerst an der xAchse gespiegelt und
dann um

2 \in y

Richtung gestreckt, da der Graf ja steiler wird.
Das klingt logisch, doch mein Lehrer sagte, dass das nicht stimmt.
Der Graf wird seiner Meinung um

2 \in x

Richtung gestreckt.
Das ist doch aber falsch, oder?

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09:54 Uhr, 25.03.2013

. .

. setz' doch einfach ein:

\pm n_{y} \cdot f (\pm n_{x} \cdot (x - x_{v})) + y_{v} = - e^{2 \cdot x}

Somit:

n_{y} = - 1

(Keine Streckung entlang y-Achse und Spiegelung an

x)

n_{x} = 2

(Keine Spiegelung an y-Achse und Streckung um

\frac{1}{2} =

Stauchung um Faktor

2)

x_{v} = 0

und

y_{v} = 0

(keine Verschiebung)

Bedenke, das bei Streckung/Stauchung entlang der x-Achse NICHT analog zur Streckung/Stauchung an der y-Achse vorgegangen wird.

z . B

. führt der Faktor 2 vor

f (x)

zur Streckung entlang der y-Achse, da ja der Funktionswert

f (x)

verdoppelt wird.

Allerdings führt der Faktor 2 bei

f (2 \cdot x)

zur Stauchung entlang der x-Achse (bzw. Streckung um den Faktor

\frac{1}{2}),

da ja der Funktionswert der sonst erst bei

2 \cdot x

wäre schon bei

x

abgebildet wird. Die Funktion wird also entlang der x-Achse gestaucht, bzw. um den reziproken Wert gestreckt.

Fazit:

e^{x} -

Standard-Exponentialfkt.

e^{2 \cdot x} -

um den Faktor 2 entlang x-Achse gestauchte Standard-Exponentialfkt.

- e^{2 \cdot x} -

vorgenanntes Fkt.-bild an x-Achse gespiegelt.

Somit liegt also auch dein Lehrer falsch, denn die Fkt. wird NICHT um den Faktor 2 gestreckt, sondern gestaucht oder halt um den Faktor

\frac{1}{2}

gestreckt.

;-)

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13:40 Uhr, 25.03.2013

Also die Zahl vor dem

e

bezieht sich immer auf die

y

Achse.
Ist die Zahl kleiner als Eins so wird der Graf in

y

Richtung gestaucht.
Ist sie größer als eins so wird er in

y

Richtung gestreckt.

Die Zahl, die mit dem hoch

x

multipliziert wird bezieht sich auf die

x

Achse.
Ist sie kleiner als 1 wird der Graf in

x

Achse gestreckt.
Ist die Zahl größer als 1 wird der Graf in

x

Achse gestaucht.

Aber wie du ja bereits sagtest, wird beim

x

mal 2 der Funktionswert von

2 x

bereits bei

x

abgebildet.
Wird der Graf dann bei mal 2 nicht gestreckt, da er ja steiler nach oben geht als ohne die 2?
Oder bezieht man sich bei der Streckung in

x

Richtung nur auf die ersten Werte. Links und rechts von Null, denn da verläuft der Graf mit dem mal 2 noch flacher?

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13:58 Uhr, 25.03.2013

. .

. die Streckung / Stauchung bezieht sich ja jeweils auf die entsprechende Achse!

Stauche ich in x-Richtung (Faktor

1 < n_{x} < \infty),

so erscheint der Anstieg natürlich steiler, allerdings handelt es sich NICHT zwangsläufig um eine Streckung entlang der y-Achse !

Bsp.

f (x) = x^{2}

f (2 \cdot x) = {(2 \cdot x)}^{2} = 4 \cdot x^{2} = 4 \cdot f (x)

hier ist die Stauchung um den Faktor 2 entlang der x-Achse identisch mit der Streckung um den Faktor 4 entlang der y-Achse.

Abei bei:

f (x) = e^{x}

f (2 \cdot x) = e^{2 \cdot x} \neq a \cdot e^{x}

. .

. hier findest du keinen Faktor, der die x-Streckung/Stauchung in eine Streckung/Stauchung der y-Achse überführt.

Generell gilt also:

f (a \cdot x)

ist eine in x-Richtung um den Faktor

\frac{1}{a}

gestreckte

f (x)

bzw. Faktor a gestauchte

f (x)

.

Somit umgehst du das Problem, wenn a mal kleiner als 1 ist.

Angenommem a ist

0,5,

dann ist

f (0,5 \cdot x)

eine um den Faktor

\frac{1}{0,5} = 2

gestreckte bzw. eine um

0,5

gestauchte (entspricht ja Streckung um Faktor

2)

Funktion

f (x)

entlang der x-Achse.

;-)

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14:43 Uhr, 25.03.2013

Dann wäre

z . b

2 e^{2 \cdot x}

Ein um 2 gestauchter Graf in Richtung

x

Achse oder

0,5

gestreckter Graf in Richtung

x

Achse.
Zusätzlich ist er noch um 2 zur

y

Richtung gestreckt.
Richtig?

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15:16 Uhr, 25.03.2013

. .

. jawoll, jetz hammas.

;-)

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15:25 Uhr, 25.03.2013

Dann bin ich froh. ;-)

Ich danke dir für deine Antworten und deine Geduld :-D)

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