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Exponentielles Wachstum

Schüler

Tags: Exponentialaufgaben, Wachstum, Wachstumsprozess

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19:19 Uhr, 21.06.2022

Hallo zusammen,

ich bin mir unsicher bezüglich der Lösung zweier Aufgabenteile.
Bei Aufgabe

B

bin ich mir unsicher wie ich hier vorgehen soll, vielleicht kann mir das einer Schritt genau erklären.

Zu Aufgabe

A :

Hier habe ich zwei Vorgehensweisen bin mir aber unsicher bezüglich des Ergebnisses

Zum einen würde ich wie folgt vorgehen:

(1)

\frac{24}{0,25} = 96

96 = 2 \cdot 1 . 25^{x} | : 2

\frac{96}{2} = 1 . 25^{x}

Dann

log 1 . 25 (\frac{96}{2})

Hier kommt

17.35 \to 18

raus

Oder

(2)

24 = 2 \cdot 1 . 25^{x} | : 2

\frac{24}{2} = 1 . 25^{x}

Dann

log 1 . 25 (\frac{24}{2})

Hier kommt

11.14 \to 12

raus

Welche Vorgehensweise ist richtig?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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19:45 Uhr, 21.06.2022

f (x) = 2 \cdot {1,25}^{x}

a) f' (x) > 24

2 \cdot {1,25}^{x} \cdot ln 1,25 > 24

x > 17,86 \to x = 18

b) \int_{6}^{10} f (x) d x

F (x) = \frac{f (x)}{ln 1,25} = 2 \cdot \frac{{1,25}^{x}}{ln 1,25}

F {(x)}_{6}^{10} = . .

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19:51 Uhr, 21.06.2022

Vielen Dank für die Rückmeldung. Also wäre der erste Weg hier korrekt?
Ich habe mit meinem Lehrer gesprochen, er meinte der zweite wäre korrekt. Deshalb weiß ich gerade nicht ob er sich vertan hat

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19:56 Uhr, 21.06.2022

Die 1. Ableitung gibt die momentane Zunahme an.

Ich kenne nur diese Methode.

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21:02 Uhr, 21.06.2022

@missprincess

Meiner Meinung nach sind beide Ergebnisse nicht richtig. Die Zunahme an Tag x ist die Differenz aus Endbestand am Tag

x

und Endbestand an Tag

x - 1

. Also ist die Ungleichung

2 \cdot 1, 2 5^{x} - 2 \cdot 1, 2 5^{x - 1} \geq 24

2 \cdot 1, 2 5^{x - 1}

auf der linken Seite ausklammern.

2 \cdot 1, 2 5^{x - 1} \cdot (1, 25 - 1) \geq 24

2 \cdot 1, 2 5^{x - 1} \cdot 0, 25 \geq 24

1, 2 5^{x - 1} \cdot 0, 5 \geq 24

1, 2 5^{x - 1} \geq 48

Beide Seiten logarithmieren.

(x - 1) \cdot \ln (1, 25) \geq \ln (48)

x \geq \frac{\ln (48)}{\ln (1, 25)} + 1 \approx 18, 34

Am 19. Tag beträgt der tägliche Zuwachs erstmals mehr als

24 m^{2}

. Ich habe noch eine Tabelle mit den entsprechenden Werten angehängt.

Gruß
pivot

Roman-22

01:46 Uhr, 22.06.2022

@missprincess
ich denke nicht, dass, wie von supporter angenommen, die momentane Änderungsrate gemeint ist.
So gesehen ist in deinem ersten Ansatz schon sehr viel Richtiges.
Du hast dir jenen Tag ausgerechnet, an dem die Fläche so groß

(96 m^{2})

ist, dass ein Viertel davon die geforderten

24 m^{2}

beträgt und hast da (richtig gerundet!)

17,35

rausbekommen.
Was du nicht bedacht hast war, dass ja erst am nächsten Tag der Zuwachs schlagend wird und du zu deinem Ergebnis daher noch 1 addieren musst. Damit bist du dann auch bei dem von Pivot genannten Wert.

Jetzt ist nur noch die Frage, wie man die Tage nummeriert. Alle Antworten bisher gingen davon aus, dass der Beginn, also der Tag mit den

2 m^{2}

als Fläche, die Nummer Null zu tragen hätte, weil das für die Rechnung ja auch Sinn macht.
Im normalen Sprachgebrauch würde man diesen Tag aber als den ersten Tag des Beobachtungszeitraums bezeichnen.
Es ist also Interpretationssache, ob man die Frage

(a)

mit "am

19

. Tag" oder aber mit "am

20

. Tag" beantworten sollte. ich denke, dass man mit "Am

19

. Tag nach Beobachtungsbeginn." auf der sicheren Seite ist. ;-)

Zu der zweiten Berechnungsmethode mit dem Ergebnis

11,14

. Diese Rechnung gibt an, nach wie vielen Tagen die Algen eine Fläche von

24 m^{2}

bedecken. Das hat aber mit der Fragestellungen bei

(a)

nichts zu tun. Da hat dein Lehrer vielleicht überlesen, dass nicht die Fläche selbst, sondern der tägliche Flächenzuwachs vorgegeben ist.

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03:35 Uhr, 22.06.2022

>>Alle Antworten bisher gingen davon aus, dass der Beginn, also der Tag mit den 2m2 als Fläche, die Nummer Null zu tragen hätte, weil das für die Rechnung ja auch Sinn macht.
Im normalen Sprachgebrauch würde man diesen Tag aber als den ersten Tag des Beobachtungszeitraums bezeichnen.<<

Beide Aussagen sind richtig, bauen aufeinander auf und sind in sich logisch.
Der Wachstumsprozess beginnt in

t = 0

. Von

t = 0

bis

t = 1

ist der Zeitraum des ersten Tages. Und von

t = 18

bis

t = 19

ist der Zeitraum des 19. Tages.

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