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Exponentielles Wachstum ausrechnen

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Sonstiges

Tags: Exponentielles Wachstum, Finanzmathematik, Sonstig, Wachstum

fdm11

01:44 Uhr, 15.04.2016

Gesucht ist der monatliche exponentielle Anstieg von Mitgliedern einer Internetseite.
Ich habe die Mitgliederzahl von den Monaten Januar 2016 (533 Mitglieder) und Februar 2016 (557 Mitglieder) gegeben. Ich muss nun eine Formel finden, mit der ich die Gesamtzahl der Mitglieder bis Januar des folgenden Jahres ermitteln kann.
Voraussetzung: Die Anzahl muss bis Ende des Jahres um 30% gestiegen sein und ich brauche die Zahlen der Mitglieder fuer jeden Monat als exponentiellen Anstieg.

Ich hoffe mir kann da jemand weiter helfen :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Roman-22

01:55 Uhr, 15.04.2016

Wenn du von reinem exponentiellem Wachstum ausgehst, dann kannst du entweder zwei Datenpunkte (Mitgliederanzahl Jänner und Februar) ODER EINEN DatenPunkt (zB Mitglieder Jänner) und den prozentuellen Anstieg in einem bestimmten Zeitraum zur Berechnung heranziehen, aber zwei Datenpunkte UND der prozentuelle Zuwachs sind zu viel des Guten.

Wenn du zB von den Jänner- und Februar-Daten ausgehts, hast du bei exponentiellem Wachstum innerhalb eines Jahres einen Zuwachs von

69,6 %

.

Wenn du umgekehrt von einem Wachstum von

30 %

innerhalb von

12

Monaten ausgehst, hättest du nach einem Monat nur ca.

544,8

Mitglieder.

Außerdem ist die Formulierung "bis Ende des Jahres" nicht ganz klar, weil wir nicht wissen, ob das

11

oder

12

Monate nach den Januar-Daten sein soll, denn wir wissen nicht, ob es Anfang oder Ende Januar

533

Mitglieder sind.

Wie lautet daher die genau Aufgabenstellung?

R

fdm11

03:11 Uhr, 15.04.2016

Ende des Jahres bedeutet Ende Dezember.
Die Daten von Ende Februar (557) soll in diesem Fall der Startpunkt sein, da die Zahl fix ist.

Wie hast du das denn mit den 30% errechnet? Also wir kommt man bei 30% Anstieg innerhalb von einem Jahr auf den Anstieg pro Monat? Und ist der Anstieg dann linear oder exponentiell, wie du das berechnet hast?

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06:52 Uhr, 15.04.2016

{1,3}^{\frac{1}{12}} = 1,02210

(monatl. Wachstumsfaktor)

1,02210 \cdot 533 = 544,8

fdm11

08:25 Uhr, 15.04.2016

Aber mit diesem Faktor kommt jeden Monat die gleiche Zahl an Mitgliedern dazu, oder nicht? Das ist ja nicht wirklich realistisch in einem wachsenden Unternehmen?
Das muessten ja eigentlich monatlich mehr sein. Also zb: Von Januar auf Februar sind es 5 neue Mitglieder. Dann von Februar auf Mearz sind es dann 11 usw.. Bis es dann am Ende insgesamt 30% Zuwachs im Jahr ist.

Roman-22

08:42 Uhr, 15.04.2016

>

Aber mit diesem Faktor kommt jeden Monat die gleiche Zahl an Mitgliedern dazu, oder nicht?
Nein, wenn du, so wie du schreibst, mit exponentiellem Wachstum modellieren sollst, dann ist der relative (also der prozentuelle) Zuwachs konstant.
Hier also monatlich ca.

2,2 %,

was dann in einem Jahr die

30 %

ergibt.
Die Mitgliederanzahlfolge wäre dann also

533; 544,8; 556,8; 569,1; . .

. bis nach einem Jahr sich eben die Zahl

692,9

einstellt und die Mitgliederzahl sich um

30 %

erhöht hat.

Wenn es eine Aufgabe ist, die dir gestellt wurde, solltest du den genauen Aufgabentext hier posten, denn wie schon geschrieben passen die

30 % p . a,

und die

557

nach einem Monat bei exponentiellem Wachstum nicht zusammen

Wenn du dir die Aufgabe selbst ausgedacht hast (wie kommst du da auf die

30 %

?), dann könntest du überlegen, ob du vielleicht lieber mit einer anderen Funktion modellieren möchtest. Irgendwann wird ja die Zielgruppe der Internetseite ausgereizt sein und eine Sättigung eintreten. Da wäre

u . U

. das Modellieren mit einer sog. logistischen Funktion angebracht.

Wenn der absolute Zuwachs konstant wäre, wie du meinst, hättest du lineares Wachstum. In der Tat ein eher unrealistisches Modell.

R

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08:44 Uhr, 15.04.2016

"Aber mit diesem Faktor kommt jeden Monat die gleiche Zahl an Mitgliedern dazu, oder nicht?"

Nein:
Das ist ein "Zinseszins"-Faktor

d . h

. von Monat zu Monat kommen mehr dazu, aufs Jahr gesehen sind es insgesamt

30 %

mehr Mitglieder als am Jahresanfang.

fdm11

00:52 Uhr, 18.04.2016

Danke schon mal fuer die Antworten :-)
Also das ist keine Aufgabe aus einem Buch. Mache gerade ein Praktikum in einem start up und mein Chef wollte, dass ich ein Forecasting in einer Excel Tabelle erstelle. Mathe ist nicht gerade meine Staerke. Die 30% habe ich einfach nur als Richtwert genommen. Eigentlich soll die % Zahl variabel sein. Also, er moechte in der Tabelle auch eigentlich sehen koennen, wie sich die Zahlen aendern, wenn man auch die Prozentzahl aendert. Bin da gerade ein wenig am verzweifeln und mein Chef hat davon auch keine Ahnung :-D)

ledum aktiv_icon

12:15 Uhr, 18.04.2016

Hallo
Du solltest genauer sagen, was deine Mathekenntnisse sind.
erstmal folgendes
wenn deine BBBenutzer

z . b

jeden Monat 3$ mehr werden und mit der Menge A anfangen, sind es nach 1 Monat

1.03 \cdot A

im nächsten Monat dann

1.03 \cdot (1.03 \cdot A) = 1 . 03^{2} \cdot A

im 3. Monat

1.03 \cdot (1 . 03^{2} \cdot A = 1 . 03^{3} \cdot A

in nMonaten dann

1 . 03^{n} \cdot A

z . B

nach

12 M 1 . 03^{12} \cdot A = 1.426 \cdot A

das sind

42.6 %

mehr als am Anfang.
Wenn du also den Zuwachs in einem Monat kennst, und hoffst dass der prozentuale Zuwachs lange gleich bleibt kannst du so rechnen:
Anfangszahl*(1+p/100)^t wobei für

t

die Zahl der Monate eingesetzt wird.
jetzt umgekehrt: wenn du im Jahr ein Zuwachs von

p %

erwartest und die Monatliche Änderung willst hast du

A \cdot {(1 + x)}^{12} = (1 + \frac{p}{100}) \cdot A

das gibt

{(1 + \frac{x}{100})}^{12} = 1 + p

und damit

1 + \frac{x}{100} = \sqrt[12]{1 + \frac{p}{100}}

als Beispiel dein

p = 30

in einem Jahr folgt

1 + x = \sqrt[12]{1.30} = 1.022

also

\frac{x}{100} = 0,022 = 2 . \frac{2}{100} = 2.2 d . h

. jeden Monat wird das Ergebnis des Vormonats in Exel mit

1.022

multipliziert.
für

p

kannst du jetzt in Exel einsetzen was du willst und so verschiedene "Szenen" für deinen Chef ausprobieren.
Alls klar, sons frag nach.
Gruß ledum

Roman-22

13:49 Uhr, 18.04.2016

Ich gehe aufgrund deiner bisher immer noch sehr vagen Aussagen davon aus, dass die Besucherzahlen der ersten beiden Monate hardfacts sind und die

30 %

Spekulation. Ich hab dir ja schon geschrieben, dass ein rein exponentieller Wachstumsvorgang bereits durch die beiden ersten Werte vollständig beschrieben und festgelegt ist. Da kann man sich nichts mehr sonst wünschen und man kann nichts variieren.

Aber nochmal: Du kannst bei exponentiellem Wachstum also ENTWEDER die erste beiden Werte vorgeben, ODER den ersten Wert und zB den jährlichen Zuwachs - deine Entscheidung.

Mit Startwert

533

und dem Wert

557

nach 1 Monat ergibt sich automatisch ein jährlicher Zuwachs von knapp

70 %

Mit Startwert

533

und einem jährlichen Zuwachs von

30 %

ergeben sich nach 1 Monat aber nur knapp

545

Mitglieder.

Beides hatte ich dir schon geschrieben. Hast du darauf nicht reagiert, weil du etwas daran nicht verstanden hast, oder woran scheitert es?

Du kannst nicht die

533

und

557

als gegeben annehmen und dir zusätzlich noch die

30 %

(oder einen anderen Wert) jährlich wünschen. Das geht bei diesem Modell nicht.

Ich muss auch nochmals in Zweifel ziehen, dass ein exponentielles Wachstumsmodell hier irgend etwas mit der Realität zu tun hat und kann nur raten, ein anderes Modell zu wählen. Ich hatte schon logistisches Wachstum vorgeschlagen - darüber kannst du dich ja leicht informieren, falls dir das nicht bekannt ist.
Mit logistischem Wachstum kannst du alle drei Angaben

(533,557,30 %)

verwerten und kommst auf
Log

mit einer Sättigung von

721

.

Du kannst aber auch ein exponentielles Wachstum so ansetzen

f (t) = G - (G - f_{0}) \cdot e^{- k \cdot t}

mit

f_{0} = f (0) = 533

.
Dann kommst du auf
exp

und eine Sättigung von

740

.

Aber vielleicht ist es deinem Chef auch egal, was du machst. Denn einen Praktikanten zu beauftragen, mit so gut wie keinen Daten über die Zielgruppe der Seite und deren Verhalten, eine Prognose (noch 1 Jahr in die Zukunft) zu erstellen, kommt mir weniger wie einer seriöse Aufgabe vor als vielmehr Beschäftigungstherapie. So nach dem Motto "Lass sie mal ein wenig mit Excel herumspielen damit sie beschäftigt ist".
Oder aber dein Chef ist ein wenig naiv, wenn er wirklich glaubt, so zu einer auch nur annähernd seriösen Prognose zu kommen.
Worauf begründet er (oder du) zB eigentlich die Annahme, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln könnte?

R

fdm11

07:45 Uhr, 19.04.2016

Danke fuer die Antworten! Ich werde mir die Methoden mal in Ruhe anschauen.
Das Problem ist, dass mein Chef von dem Bereich genauso wenig Ahnung hat wie ich und wir praktisch nur zu zweit im Buero sind. Ist uebrigens auch nicht in Deutschland.
@Roman-22: Ich habe das schon verstanden, dass man nur entweder oder machen kann und habe auch erklaert, dass Februar der Startpunkt is und die mit der % Zahl gerechnet werden sollte. Aber ich werde mir mal das logistische Wachstum genauer anschauen.

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