Exponenzialfunktionen

Gesucht ist die Tangente und die Normale der Funktion f(x) = e^(-x) an der Stelle x = 1.

Wie groß ist der Inhalt des von der Tangente, Normalen und der x- Achse begrenzten Dreiecks?

Zu erst einmal hab ich mir gedacht brauche ich die Funktionsgl. der Tangente & Normalen,

die ich mit den Formeln:

t(x) = f '(x) . (x-x0) + f(xo)

n(x) = -${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\prime \left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}0\right)}}$ . (x-x0) + f(x0)

berechne.

Meine rechnung:

t(x) = -e^(-1) . (x-1) +e^(-1)

t(x) ${\displaystyle \approx }$- 0,368 x +0,736

n(x) = ${\displaystyle \frac{1}{0,368}}$ . (x-1) + e^(-1)

n(x) = ${\displaystyle \frac{1}{0,368}}$ x - 2,349

Meine Tangenten Nullstelle lautet : x = 2

Meine Normalen Nullstelle : x = 0,864

Der Abstand zwischen den beiden also ${\displaystyle \approx }$ 1,136

Dann hab ich einfach die Flächeninhaltsformel für das dreick genommen

0,5 . g . h

und habe als Endergebnis für die Fläche 0,209

Diese Zahl kommt mir aber etwas klein vor, kann mir jemand sagen ob mein ergebnis richtig ist und wo der fehler liegen könnte?

Danke für die Hilfe

Liebe grüße Sommerkind

Stimmt alles. Das exakte Ergebnis für die Fläche ist

${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{1}{2}\cdot (1+\frac{1}{{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2})\cdot \frac{1}{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$  =  0,2088...

GRUSS, DK2ZA