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Extremalproblem:Optimierung einer Schachtel

Schüler Gymnasium,

Tags: Extremwertaufgabe, Optimerung, Volumen

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17:47 Uhr, 06.03.2011

Hallo :-)

Ich habe ein Problem bei meiner Hausaufgabe.
Also ersteinmal die Aufgabe:

Gegeben ist ein quadratisches Stück Pappe mit der Seitenlänge

60

cm.Aus diesem soll eine nach oben offene Schachtel gebastelt werden.Dazu soll an den vier Ecken je ein quadratisches Stück (Seitenlänge

y)

herausgeschnitten und die verbleibenden Randstücken nach oben geknickt werden.Die verbleibende Seitenlänge der Grundfläche nennen wir

x

.Wie groß müssen

x

und

y

gewählt werden,damit das Volumen der Schachtel optimal wird?

Mein Lösungsansatz ist bisher:

Hauptbedingung:

V (x, y) = a \cdot b \cdot c

(Da ja das Volumen eines Quaders gefragt ist)

a = x + 2 y

b = x + 2 y

c = y

Nebenbedingung:
Die Seitenlänge

60

ist gegeben..Also:

60 = x + 2 \frac{y}{- 2} y

und wechseln

x = 60 - 2 y

einsetzen in die Hauptfunktion ergibt:

V = (x + 2 y) \cdot (x + 2 y) \cdot y

V = (60 - 2 y + 2 y) \cdot (60 - 2 y + 2 y) \cdot y

V = 60 \cdot 60 \cdot y

V = 3600 \cdot y

Aber irgendwie kann das nicht hinhauen,weil wenn ich davon die 1.Ableitung bilde wäre das

f´(x)=

3600

Also ich wäre sehr dankbar,wenn mir jemand sagen könnte,ab wo ich Fehler gemacht habe bzw ob überhaupt der Ansatz richtig war.
Vielen Dank.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide
Volumen und Oberfläche eines Kegels
Volumen und Oberfläche eines Prismas
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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17:50 Uhr, 06.03.2011

Die Seitenlänge der Grundfläche ist doch dann

a = b = 60 - 2 y

und die Höhe

c = y

.
Also

V (y) = {(60 - 2 y)}^{2} \cdot y

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17:59 Uhr, 06.03.2011

Danke ersteinmal.
Das hatte ich auch schon überlegt.

Das wäre doch dann:

V = 60^{2} - 4 \cdot y^{2} \cdot y

V = 3600 - 4^{2} \cdot y

Dann wäre die erste Ableitung:

f´

= - 8 y \cdot 1

und die zweite:

f´´

= - 8

Ist das soweit richtig oder nicht?

Gruß

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18:02 Uhr, 06.03.2011

Das sieht leider ziemlich falsch aus.

{(60 - 2 y)}^{2}

kannst du mit der zweiten binomischen Formel ausmultiplizieren:

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

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19:00 Uhr, 06.03.2011

Ah.Stimmt.Danke.

Allerdings habe ich mit erschrecken festgestellt,dass auf dem AB vorgegeben ist,dass man so auflöst,dass man

y

erhält und nicht

x

.Das heißt mein ganzer ansatz war umsonst.

Ein neuer versuch also:

Nebenbedingung:

60 = x + 2 y

dann

- x

60 - x = 2 y

dann

: 2

y = 30 - \frac{x}{2}

soweit richtig?

Ich muss das ja dann in die Funktion einsetzen:

{(x + 2 y)}^{2} \cdot y

= ({(x + 2 \cdot (30 \cdot \frac{x}{2}))}^{2} \cdot (30 \cdot \frac{x}{2})

Jetzt gerate ich schon ins wanken,da mir ausmultiplizieren des öfteren schwierigkeiten bereitet.

wäre denn:

{(x + 60 \cdot x)}^{2} \cdot (30 \cdot \frac{x}{2})

richtig?

vielen dank im voraus.

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19:23 Uhr, 06.03.2011

60 = x + 2 y

also

y = \frac{60 - x}{2}

Somit

V (x) = \frac{x^{2}}{2} \cdot (60 - x)

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20:24 Uhr, 06.03.2011

Um gottes willen.Wie soll ich das denn dann ableiten

: O

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20:27 Uhr, 06.03.2011

Zuerst ausmultiplizieren, dann wird es einfach.

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20:33 Uhr, 06.03.2011

"Nur ausmultiplizieren" lach :-D)

Aber ich versuche mein Glück:

\frac{x^{2}}{2} \cdot (60 - x)

= 60 \cdot \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{2}

dann

\cdot 2

= 120 \cdot x^{2} - x^{3}

richtig?

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20:36 Uhr, 06.03.2011

Dann

\cdot 2

? Dadurch veränderst du doch den Wert... Das darfst du nicht mit Gleichungen verwechseln.

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20:40 Uhr, 06.03.2011

Achso? Hm

\frac{:}{}

Aber wie soll ich denn sonst "einfach"ableiten können?

Du musst es nicht für mich machen,aber könntest du mir vielleicht allgemein sagen,wie ich so einen bruch ableite oder so?

lg

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20:42 Uhr, 06.03.2011

V (x) = \frac{x^{2}}{2} (60 - x) = 30 x^{2} - \frac{1}{2} x^{3}

Soweit ist es ja richtig. Kannst du das jetzt ableiten?

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20:56 Uhr, 06.03.2011

Hm ich bin mir nicht sicher.

ist das hier richtig:

1.Ableitung:

120 \frac{x}{2} - 3 \frac{x^{2}}{2}

und zweite ableitung:

\frac{120}{2} - 6 \frac{x}{2}

sieht irgendwie sehr abenteuerlustig aus

: (

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20:58 Uhr, 06.03.2011

Ja sollte stimmen, aber du darfst gerne noch

\frac{120}{2} = 60

etc. vereinfachen.

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21:18 Uhr, 06.03.2011

Ok.

Dann habe ich also,wenn ich jetzt die Extremstellen herausfinden will:

0 = 120 \frac{x}{2} - 3 \frac{x^{2}}{2}

jetzt aber

\cdot 2

.oder?

0 = 240 x - 3 x 2

und nun?
Darf ich einfach schreiben:

0 = - 3 x^{2} + 240 x

?

und dann einfach

/ 3

0 = x^{2} + 80 \frac{x}{3}

aber dann habe ich ja schon wieder einen bruch

- . -

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21:22 Uhr, 06.03.2011

0 = 60 x - \frac{3}{2} x^{2}

Und na klar darfst du das auch so schreiben:

0 = - \frac{3}{2} x^{2} + 60 x | \cdot 2

0 = - 3 x^{2} + 120 x | : (- 3)

0 = x^{2} - 40 x

Kommst du jetzt weiter?

Gruß Shipwater

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19:36 Uhr, 07.03.2011

Oh ok.
Also

120 \frac{x}{2}

sind

60 x

?

Und nicht

60 \frac{x}{2}

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19:49 Uhr, 07.03.2011

\frac{120}{2} = 60

oder bezweifelst du das?

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19:59 Uhr, 07.03.2011

Nein ich habe bezweifelt,dass das

x

dann wegfällt

: O

Also das

120 \frac{x}{2}

einfach nur

60 x

und nicht

60 \frac{x}{2}

ist
aber wenn du sagst das ist so,dann nehm ich das mal an^^
wollte mich nur verischern

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20:00 Uhr, 07.03.2011

Warum sollte

120 \frac{x}{2}

denn

60 \frac{x}{2}

sein? Wie kommst du denn darauf? Dann müsste doch

60 = 120

sein. Und wo fällt ein

x

weg? Du verwirrst mich gerade...

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17:24 Uhr, 08.03.2011

ich weis es nicht,hätte ich einfach gedacht,dass wenn man die

120

halbiert,dann auch das

x

nochmal halbiert.
Aber ich glaube dir jetzt einfach mal^^

Um zur aufgabe zurückzukommen

ich habe gerechnet:

0 = x^{2} - 40 x

pq-Formel also:

p = - 40 q = 0

- \frac{p}{2} \pm

Wurzel aus

{(\frac{p}{2})}^{2} - q

20 \pm

Wurzel aus

400

20 \pm 20

1 = 0

xn2=

20

So jetzt prüfen,ob eine Extremstelle vorliegt.

Also

f´(x)=

- \frac{3}{2} \cdot x^{2} + 60 \cdot x

f

(0) = 0

f´(

20) = 600

da die notwendige Bedingung ja f´(x)

= 0

ist
kommt also nur

0

in Frage.

Aber ist das nicht total unlogisch im Bezug zur aufgabe?:s
Oder habe ich mich irgendwo verechnet

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18:14 Uhr, 08.03.2011

x^{2} - 40 x = 0 \Leftrightarrow x (x - 40) = 0 \Rightarrow x_{1} = 0

und

x_{2} = 40

Warum denn pq-Formel?

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18:18 Uhr, 08.03.2011

Wieso denn das?:O

Ich dachte,wenn man eine quadratische Funktion nullsetzen will muss man immer die pq-formel nehmen ?!

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18:22 Uhr, 08.03.2011

Und im Grunde auch nicht wirklich wichtig,weil wenn ich

40

einsetze auch nicht 0 rauskommt,also nach wievor nur 0 als mög.Extremwert bleibt.Und da verstehe ich nicht,welchen sinn das für die aufgabe macht

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19:12 Uhr, 08.03.2011

Ich habe den Satz vom Nullprodukt beachtet. Ein Produkt ist dann null, wenn einer der Faktoren null ist.

x = 0

und

x = 40

sind also Nullstellen der ersten Ableitung und somit potentielle Extremstellen. Mit der zweiten Ableitung wollen wir näheres erfahren:

V'' (x) = 60 - 3 x

V'' (0) = 60 > 0

also ist bei

x = 0

ein Minimum

V'' (40) = 60 - 3 \cdot 40 = - 60 < 0

also ist bei

x = 40

ein Maximum
Das optimale

x

ist also

x = 40 c m

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20:25 Uhr, 09.03.2011

Vielen Dank ich habs jetzt,du hast mir wirklich sehr weitergeholfen :-)

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20:26 Uhr, 09.03.2011

Gern geschehen.

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