Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Extremalprobleme bei e-Funktionen

Extremalprobleme bei e-Funktionen

Schüler Berufliches Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: e-Funktion, Extremalaufgaben, extremalproblem

swolf23 aktiv_icon

17:11 Uhr, 28.11.2010

Hallo,

ich habe hier für die bevorstehende Klausur 3 Extremalaufgaben zu e-Funktionen vorliegen. Eine davon habe ich bereits gelöst, bei den andern beiden tue ich mich allerdings noch schwer, jedoch denke ich, dass wenn ich einen Lösungsweg zu einer der beiden erhalte, ich die andere auch hinbekomme.

Die Aufgabe lautet wie folgt:

"Betrachtet wird das achsenparallele Rechteck, dessen Eckpunkt

P (z | f (z))

für

0 < z < 1

auf
dem Graphen der Funktion

f (x) = 2 x \cdot e^{- x}

liegt.
Wie muss

z

gewählt werden, damit der Inhalt A des Rechtecks maximal wird?"

Hab schon einige Zeit gegrübelt wie ich das angehen soll, aber ich sehe wohl den Wald vor lauter Bäumen nicht... hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen.

Danke im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

e-Funktion

vulpi aktiv_icon

17:23 Uhr, 28.11.2010

hi,
die Breite des Rechtecks beträgt

z,

die Höhe

f (z)

Daraus die Fläche = ?
Davon dann das Maximum

lg

swolf23 aktiv_icon

17:32 Uhr, 28.11.2010

So weit hatte ich das vorher auch schon etwas unglücklich formuliert auf dem Papier stehen - allerdings stellte sich mir da die Frage, wie ich das "0<z<1" dort einbauen sollte.. Nach den bisherigen Angaben würde ich instinktiv mal so anfangen:

A = (2 z \cdot e^{- z}) \cdot z

Das dann ausmultiplizieren, ableiten und gleich Null setzen... wäre das soweit korrekt?

vulpi aktiv_icon

17:47 Uhr, 28.11.2010

Hi,
bist ja auf dem richtigen Weg.
Das Intervall

0 < z < 1

gibt den Definitionsbereich für

z

an.
Für

z = 0

ist es kein Rechteck mehr.

D . h

. nur Lösungen, die in dem Intervall (ohne Randpunkte) liegen,
machen sinn !

lg

Nachtrag:
Was micht etwas wundert, dass die Funktion bis 1 anscheinend
monoton wächst, womit das Maximum bei 1 läge,
aber nicht definiert ist, seltsam.
Siehe Bild

swolf23 aktiv_icon

18:11 Uhr, 28.11.2010

Mein Rechnungsweg sieht nun wie folgt aus:

A = (2 z \cdot e^{- z}) \cdot z

das dann abgeleitet indem ich 2mal die Produktregel angewandt habe (einmal für die Klammer, einmal für den Gesamtterm):

A' = (z \cdot e^{- z} + 2 z - e^{- z}) \cdot z + (2 z \cdot e^{- z})

Das sieht mir jetzt schon wieder so abstrakt aus, dass ich davon ausgehe, irgendwo nen Fehler eingebaut zu haben... Allerdings neige ich auch dazu, mich von Variablen verwirren zu lassen.

vulpi aktiv_icon

18:27 Uhr, 28.11.2010

huhu,
bevor man sich 2 mal mit Produktregel müht, sollte man vllt
vorher Zs-Gehöriges auch zs.-packen.

A (z) = (2 z e^{- z}) z \Leftrightarrow A (z) = 2 z^{2} e^{- z}

so, das dann nach P-Regel ableiten:

A' (z) = 4 z e^{- z} - 2 z^{2} e^{- z}

Achtung, bei deiner Klammer-Ableitung:

(2 z)' = 2,

nicht

z

swolf23 aktiv_icon

18:40 Uhr, 28.11.2010

Huch, das Ausklammern vergesse ich jedes mal wieder, so sieht das Ganze schon viel ansprechender aus, danke.

Wenn ich die Ableitung allerdings 0 setze, bekomme ich für

z = 2

raus, was aber in der Aufgabe nicht im Definitionsbereich für

z

liegt...

vulpi aktiv_icon

18:45 Uhr, 28.11.2010

Ja, wie gesagt (siehe obiges Bild)
wäre bei 1 ein absolutes Maximum, sofern die 1 im Def-Bereich läge.
Warum dein Lehrer die 1 da nicht erlaubt ?
Somit gibt es in dem OFFENEN Intervall dann kein Maximum.
Die Lösung wäre realiter bei einem Bauzaun oder so "so nah wie möglich an 1 m"
aber mathematisch erwischt du nie ein Maximum, denn auch über

0,99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999

geht noch 'ne Zahl drüber, die kleiner als 1 ist :-)

wie gesagt, merkwürdig, warum

< 1

swolf23 aktiv_icon

18:48 Uhr, 28.11.2010

Die Aufgabenstellung stammt aus einem Mathematik-Buch, vielleicht hat sich da ja ein Fehler eingeschlichen.

Jedenfalls vielen Dank für deine Hilfe, auch wenn bei der Aufgabe ein seltsames Ergebnis zu Stande kam, so ist bei mir jetzt wieder die Vorgehensweise bei solchen Aufgaben ins Gedächtnis gebrannt.

vulpi aktiv_icon

18:49 Uhr, 28.11.2010

gern geschehen :-)

826335

826211

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?