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Extremstellen e-Funktion mit mehreren Variablen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, e-Funktion, relative Extremstellen

Gropsch aktiv_icon

17:50 Uhr, 14.06.2009

Hi Leute,

sitze gerade an einer Aufgabe und komme nicht so recht weiter:

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion

z (x, y) = e^{\frac{1}{2} x} \cdot (x + y^{2})

Wo besitzt die Funktion extrema und welche?

So die Ableitungen bilden bekomm ich noch hin:

f_{x} = 0,5 \cdot e^{\frac{1}{2} x} \cdot (x + y^{2}) + e^{\frac{1}{2} x}

f_{y} = 2 y \cdot e^{\frac{1}{2} x}

So - wo

f_{y}

null wird bekomm ich auch noch hin

(0,0) -

aber wie sieht das bei

f_{x}

aus?Wie geh ich da am besten vor? Kann da ja

e^{\frac{1}{2} x}

ausklammern und dann?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

e-Funktion

m-at-he

02:18 Uhr, 16.06.2009

Hallo,

Du machst 2 Fehler!

1. du denkst, daß

f_{x}

und

f_{y}

zwei "Funktionen" sind, die man Null setzen muß! Sind sie aber nicht, sie sind 2 Funktionen, die an den selben Stellen Null sein müssen,

d . h

. sie bilden ein Gleichungssystem. Wenn man eine Lösung für die eine Gleichung kennt, dann kann man diese in die andere Gleichung einsetzen!

2. Wenn

2 \cdot y \cdot e^{\frac{1}{2} \cdot x}

Null sein soll, dann muß nicht

x = 0

sein! Dann muß nur

y = 0

gelten. Die Lösung der zweiten Gleichung sind also die Punkte auf der Geraden

y = 0 .

Wenn Du nun diese Erkenntnis in die erste Gleichung einsetzt, dann suchst Du dort nur noch die Punkte auf der Geraden

y = 0,

an denen auch

f_{x}

den Wert Null ergibt. Der Wert von

f_{y}

ist ja dort überall

(!!!)

gleich Null.

Du wirst mit

f_{x} (x; 0) = 0

die Stellen

(x; y)

ermitteln, an denen eine Extremstelle sein könnte (notwendige Bedingung). Ob und wenn ja welche Extremstelle dort ist, wäre dann mit den zeiten partiellen Ableitungen und der Hesse-Matrix zu ermitteln (hinreichende Bedingung)!

Gropsch aktiv_icon

14:08 Uhr, 17.06.2009

Hey, vielen Dank nochmal für die Erläuterung! :-)

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