Extremwertaufgabe

Hallo,

die Frage habe ich schon mal beantwortet. Ich hoffe, das klappt mit reinkopieren:

zuerst definiere ich mal ein paar Variablen:

a = lange Seite Platz

b = kurze Seite Platz

Dann brauchst du die Formael für die Fläche des Platzes:

A = a*b

Als Nebenbedingung hast du die Länge der Laufbahn:

<?import namespace = m urn = "http://www.w3.org/1998/Math/MathML" implementation = "#MathPlayer" ?> ${\displaystyle 400=2*\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Die Nebenbedingung löst du nach a auf und setzt sie in die Hauptbedingung ein:

${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=200-\frac{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2}\cdot \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=(200-\frac{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\cdot \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=200\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\frac{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2}\mathrm{b²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Jetzt bildest du die Ableitung und setzt sie gleich Null:

${\displaystyle {\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=200-\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

${\displaystyle 0=200-\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$--> ${\displaystyle \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{200}{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Wenn du b in die Nebenbedingung einsetzt, hast du auch a:

${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=200-\frac{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2}\cdot \frac{200}{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=100}$

Daraus folgt:

A=6366,2m²