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Extremwertaufgabe: Gebrochenrationale Funktion

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Extremwertaufgabe, Gebrochen-rationale Funktionen

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19:37 Uhr, 05.09.2009

Moin!

Hab ein Problem mit einer Extremwertaufgabe.
Hier erstmal die Aufgabenstellung:

Der Querschnitt eines unterirdischen Entwässerungskanals ist ein Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis. Wie sind Breite und Höhe des Rechtecks zu wählen, damit die Querschnittsfläche 8 m² groß ist und zur Ausmauerung des Kanals möglichst wenig Material benötigt wird?

Jetzt mal das was ich schon habe:

Nebenbedingung:

A = a \cdot b + \frac{π \cdot {(\frac{a}{2})}^{2}}{2} = 8

Hauptbedingung:

U = π \cdot \frac{a}{2} + a + 2 b

Nebenbedingung nach

b

aufgelöst:

b = \frac{2 A - π \cdot {(\frac{a}{2})}^{2}}{2 a} = \frac{8 A - a^{2} \cdot π}{8 a}

Nebenbedingung in Hauptbedingung eingesetzt:

U = π \cdot \frac{a}{2} + a + 2 \cdot \frac{8 A - a^{2} \cdot π}{8 a}

U = \frac{π}{2} \cdot a + a + 2 \cdot \frac{64 - π \cdot a^{2}}{8 a}

So bis hier müsste eigentlich alles stimmen, aber jetzt kommt die
1. Ableitung:

U' (a) = \frac{π}{2} + 1 + 2 \cdot \frac{- 2 \cdot π \cdot a \cdot 8 a - 8 \cdot (64 - π \cdot a^{2})}{{(8 a)}^{2}}

U' (a) = \frac{π}{2} + 1 + 2 \cdot \frac{- 2 \cdot π \cdot a \cdot 8 a - 512 + 8 \cdot π \cdot a^{2}}{{(8 a)}^{2}}

Lasse ich nun den Graphen der Funktion und den der Ableitung zeichnen ergeben die Nullstellen der Ableitung nicht einmal annährend die Extremstellen der Funktion.

Also muss in der Ableitung irgendwo ein Fehler sein.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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20:09 Uhr, 05.09.2009

Schau nochmal genau nach die du nach b aufgelöst hast.

Ich erhalte

2 b = \frac{16}{a} - \frac{π}{4} a

und damit dann

U (a) = (\frac{π}{4} + 1) a + \frac{16}{a}

lepton

20:33 Uhr, 05.09.2009

Also, die Haupt-und Nebenbedingung stimmen soweit und auch die Umformung nach

b .

Aber du hast Zielfkt. mit

U_{R} (a)

etwas ungeschickt zusammen gefasst, denn wenn du die Stelle, wo der Bruch vorkommt mit

a

in Zähler und Nenner auseinanderziehen würdest, würde dir das die mühselige Quotientenregel ersparen und du könntest ganz trivial mit Summenregel für die Ableitung vorgehen. So wie du

U_{R} (a)

zusammengefasst hast, ist hier die Wahrscheinlichkeit, dass man eine Umformungsfehler macht ziemlich groß. Du hast das Ganze ab dieser Stelle

U_{R} (a)

dir etwas unnötig kompliziert gemacht.
Bei meiner Zusammenfassung kam folgendes raus:

\Rightarrow

ZF.:

U_{R} (a, b) = 2 b + a + \frac{π}{2} \cdot a

\Rightarrow

NF.:

A_{R} = a \cdot b + \frac{π}{8} \cdot a^{2} \Rightarrow b = \frac{A_{R}}{a} - \frac{π}{8} \cdot a \in U_{R}

eingesetzt

\Rightarrow U_{R} (a) = 2 A_{R} \cdot \frac{1}{a} + a \cdot (\frac{π}{4} + 1)

\Rightarrow U_{R}' (a) = - 2 A_{R} \cdot \frac{1}{a^{2}} + 1 + \frac{π}{4}

\Rightarrow U_{R}'' (a) = 4 \frac{A_{R}}{a^{3}} > 0 :

rel.Min.!

a ermitteln:

U_{R}' (a) = 0 \Rightarrow a_{1} = \sqrt{8 \frac{A_{R}}{4 + π}}; a_{2} = - \sqrt{8 \frac{A_{R}}{4 + π}}

!el

D

\Rightarrow a = \sqrt{8 \frac{A_{R}}{4 + π}}

b

ermitteln:

b = \sqrt{4 + π} - π \cdot \sqrt{\frac{1}{4 + π}}

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20:33 Uhr, 05.09.2009

"gelöscht"

lepton

20:51 Uhr, 05.09.2009

Du kannst aber

b

doch etwas weiter vereinfachen und würdest dadurch besseren Konspekt bekommen

\Rightarrow b = \frac{8 A - π \cdot a^{2}}{8 a} = \frac{A}{a} - \frac{π}{8} \cdot a

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20:36 Uhr, 06.09.2009

So habs jetzt.
Danke! :-D)

Da wäre ich alleine wahrscheinlich nie draufgekommen...alleine schon weil oben auf der Seite "Anwendung gebrochenrationaler Funktionen" steht :-D)

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