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Extremwertaufgabe, Halbkreis, Rechteck, Zylinder

Schüler Realgymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Extremwertaufgabe, halbkreis, Rechteck, Volumen, Zylinder

xxXxCarpeDiemxXxx aktiv_icon

14:18 Uhr, 13.03.2010

Heyho

[=

Bin leider wiedermal total am Verzweifeln und würde mich sehr freuen, wenn mir jemand die Aufgabe erklären könnte.

Einem Halbkreis

(r = 6 m)

ist ein Rechteck so einzuzeichnen, dass eine Rechteckseite auf dem Durchmesser des Halbkrieses liegt. Wie lang sind die SEiten des Rechtecks zu wählen, damit ein durch Zusammenrollen des Rechtecks entstehender senkrechter Zylinder maximales Volumen hat? Gesucht: Volumen des Zylinders

ein kleiner Versuch..

1)

Skizze

2)

Hauptbedingung aufstellen:

HB:

V (r, h) =

r²*pi*h

3)

Nebenbedingung aufstellen:

NB:

. .

. soo... was schreibe ich hier nun?

\frac{=}{}

Liebe Grüße

Nugget

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Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Zylinder (Mathematischer Grundbegriff)
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
Flächenmessung
Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Quadrat / Rechteck / Parallelogramm
Raummessung

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michael777 aktiv_icon

15:49 Uhr, 13.03.2010

der Ursprung des Koordinatensystem sei der Mittelpunkt des Kreises (bzw. Mittelpunkt des Durchmessers des Halbkreises)

der Halbkreis hat die Gleichung

x^{2} + y^{2} = 6^{2}

und somit ist

f (x) = y = \sqrt{36 - x^{2}}

die halbe Breite der Rechteckseite, die auf dem Durchmesser (auf der x-Achse) liegt sei

x

dann ist die Gesamtbreite des Rechtecks

2 x

und die Höhe

h = f (x) = \sqrt{36 - x^{2}}

bei Zusammenrollen des Rechtecks ist die Rechteckhöhe auch die Höhe des Zylinders, die Rechteckbreite ist der Umfang des Zylinders
Rechteckfläche ist also Mantelfläche des Hohlzylinders

Man könnte das Rechteck auch anders zusammenrollen, dann wäre die Rechteckbreite

2 x

die Zylinderhöhe und die Rechteckhöhe

y

der Zylinderumfang

Zylinder:

u = 2 x

h = \sqrt{36 - x^{2}}

V = π \cdot r_{z}^{2} \cdot h

r_{z}

ist der Radius des Zylinders, ihn kann man aus dem Umfang berechnen:

u = 2 \cdot π \cdot r_{z} = 2 x \Rightarrow r_{z} = \frac{2 x}{2 π} = \frac{x}{π}

Volumen des Zylinders:

V (x) = π \cdot {(\frac{x}{π})}^{2} \cdot \sqrt{36 - x^{2}} = \frac{1}{π} \cdot x^{2} \cdot \sqrt{36 - x^{2}}

Volumen soll maximal werden

\Rightarrow

Extremwert von

V (x)

mit

V' (x) = 0

berechnen

das dürfte jetzt kein Problem mehr sein

Ableiten mit Produkt- und Kettenregel
wenn man vorher bei

f (x)

das

x^{2}

unter die Wurzel zieht (Radikand mit

x^{4}

multipliziern), dann braucht man keine Produktregel

V (x) = \frac{1}{π} \cdot \sqrt{36 x^{4} - x^{6}}

johannes2010 aktiv_icon

15:53 Uhr, 13.03.2010

Ich leg ein Koordinatensystem in den Mittelpunkt des Kreises:
Es gilt (Pythagoras):

x^{2} + y^{2} = r^{2}

x = \pm {(r^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}

Volumen des Zylinders:

V = π r_{Z}^{2} \cdot y

michael777 aktiv_icon

16:11 Uhr, 13.03.2010

an Johannes:

bei deinem Lösungsweg wird das Rechteck nicht zusammengerollt, sondern die Rechteckfläche um die y-Achse rotiert, dabei entsteht aber ein anderer Zylinder

dein Zylinder hat den Radius

x,

aber dies sollte dem halben Umfang der Zylinderkreisfläche entsprechen

[

edit]
wurde mittlerweile korrigiert

michael777 aktiv_icon

16:18 Uhr, 13.03.2010

hier noch die Lösung

x = \sqrt{24}

h = \sqrt{12}

V_max

= 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{π}

xxXxCarpeDiemxXxx aktiv_icon

18:27 Uhr, 13.03.2010

Ich danke dir vielmals für deine Mühe Michael, leider habe ich wirklich kein mathematisches Verständnis und kann dir so ganz und gar nicht folgen..

Wir arbeiten unsere Extremwertaufgaben immer nach folgendem Schema ab:

1)

Skizze

2)

Hauptbedingung aufstellen

3)

Nebenbedingung aufstellen

4)

NB in HB einsetzen

5)

Zweimal ableiten

6) 1

. Ableitung

= 0

setzen

7)

Prüfen ob Minimum oder Maximum

8)

Ränder prüfen

9)

Antwort

Woher weißt du, dass genau die halbe Breite auf dem Durchmesser des Kreises liegt?

Als Lösung haben wir

V=48*("Wurzel aus"3)/pi

Tut mir leid ich kann mit den Zeichen nicht umgehen

Liebe Grüße Nicki

michael777 aktiv_icon

19:06 Uhr, 13.03.2010

soll das bei der Lösung durch

π

heissen?

ich habe den Fehler in meiner Lösung korrigiert
es heisst tatsächlich durch

π

xxXxCarpeDiemxXxx aktiv_icon

19:07 Uhr, 13.03.2010

ja es sollte eine division sein.. welche bei mir eigentlich auch angezeigt wird^^

michael777 aktiv_icon

19:13 Uhr, 13.03.2010

hast Du eine Skizze gemacht?

dann ist es ratsam, dass Koordinatensystem so zu legen, dass der Kreismittelpunkt im Ursprung liegt, der Halbkreis symmetrisch zur

y -

Achse ist und der Durchmesser auf der x-Achse liegt

prinzipiell ist Euer Schema um solche Aufgaben zu lösen schon richtig.
Aber manchmal kann man halt die Hauptbedingung nicht sofort aufstellen, sondern
muss sie erst mal herleiten

michael777 aktiv_icon

20:13 Uhr, 13.03.2010

immer noch unklar?

hier ein neuer Versuch:

Hauptbedingung:

V = π \cdot r_{z}^{2} \cdot h

wobei der Zylinderradius nicht gleich dem Halbkreisradius ist
Nebenbedingungen:
Zylinderumfang

u = 2 \cdot π \cdot r_{z} = 2 x \Rightarrow r_{z} = \frac{x}{π}

Zylinderhöhe

h = y = \sqrt{r^{2} - x^{2}}

Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck
mit Halbkreisradius

r = 6

ist

h = \sqrt{36 - x^{2}}

beide Nebenbedingungen in die Hauptbedingung eingesetzt:

V (x) = π \cdot {(\frac{x}{π})}^{2} \cdot \sqrt{36 - x^{2}}

x

liegt zwischen 0 und 6
Randextremwerte:

V (0) = 0, V (6) = 0,

beides Minima
Maximum mit erster Ableitung=0

xxXxCarpeDiemxXxx aktiv_icon

20:45 Uhr, 13.03.2010

wow okay jetzt versteh ich das

〈

ich hätte da allerdings noch ne frage:

wie leite ich V(x)jetzt richtig ab?

michael777 aktiv_icon

20:49 Uhr, 13.03.2010

ich habe das oben schon geschrieben

am besten formst

V (x)

um, damit du nicht die Produkt- und Kettenregel anwenden musst

ein

x^{2}

vor der Wurzel gibt ein

{(x^{2})}^{2} = x^{4}

unter der Wurzel

V (x) = \frac{x^{2}}{π} \cdot \sqrt{36 - x^{2}} = \frac{1}{π} \cdot \sqrt{36 x^{4} - x^{6}}

dann mit der Kettenregel ableiten:

V' (x) = \frac{1}{π} \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{36 x^{4} - x^{6}}} \cdot (144 x^{3} - 6 x^{5}) = \frac{72 x^{3} - 3 x^{5}}{π \cdot \sqrt{36 x^{4} - x^{6}}} = \frac{3 x^{3} (24 - x^{2})}{π \cdot \sqrt{36 x^{4} - x^{6}}}

michael777 aktiv_icon

20:55 Uhr, 13.03.2010

brauchst die 2. Ableitung auch noch?

auf die könnte man auch verzichten, man kann

z . B

. anhand der Skizze erkennen, ob es ein Maximum oder Minimum ist

xxXxCarpeDiemxXxx aktiv_icon

21:11 Uhr, 13.03.2010

Dein "Mathe-Verständnis" hätt ich auch gerne :-D)

Du machst das einfach mal so eben und ich schaff rein gar nichts alleine..

Ich weiß nicht mal wie ich die 1. Ableitung

= 0

setzen soll.. am besten ich wär wieder in der HS..^^

Gaaaanz großes Dankeschön schonmal Michi! Ohne dich würde ich wohl noch viel mehr verweifeln als jetzt.. *seufz*

michael777 aktiv_icon

21:17 Uhr, 13.03.2010

ich hab extra die erste Ableitung so umgeformt, dass man die Nullstellen ganz einfach ablesen kann
ein Bruch ist null, wenn der Zähler null ist

im Zähler steht ein Produkt, deshalb Satz vom Nullprodukt:
ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist

also

x^{3} = 0 \Rightarrow x = 0

Minimum
oder

24 - x^{2} = 0

x^{2} = 24

x = \pm \sqrt{24}

negativer Wert ist keine Lösung, da die Breite positiv sein muß

xxXxCarpeDiemxXxx aktiv_icon

21:55 Uhr, 15.03.2010

Ich danke dir vielmals für deine Hilfe Michael, habe es geschafft!

=]

Ganz liebe Grüße

Nicki Nugget.

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