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Extremwertaufgabe, maximales Volumen einer Säule

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Extremwertaufgabe, Maximal, Oberflächeninhalt, säule, Volumen

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15:39 Uhr, 14.09.2009

Hallöchen,

Bei folgender Aufgabe hänge ich einwenig in den Seilen.

Welche oben offene schachtel in der Form einer quadratischen Säule hat bei gegebenem Öberflächeninhalt 3 dm² ein möglichst großes Fassungsvermögen?

Und zwar ist meine Frage wie genau kann ich von dem gesamten Flächeninhalt auf den einer Seite oder gar auf die Seitenkanten a und

b

schließen ??

Greetz
Promos

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide
Volumen und Oberfläche eines Kegels
Volumen und Oberfläche eines Prismas
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

BjBot aktiv_icon

15:48 Uhr, 14.09.2009

Du brauchst erstmal die 2 Formeln für das Volumen V und den Oberflächeninhalt O dieses Körpers.

Nennen wir die Grundkante des Quadrats mal a und die Höhe der Säule h.

Wie lauten dann allgemein V und O ?

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15:52 Uhr, 14.09.2009

V

müsste lauten

{(\sqrt{3} - x)}^{2} \cdot x

wenn

a = x

und

O

lautet

x^{2}

:-D) .

sry aber meine Frage hat sich schon erledigt ;-)

Greetz
Promos

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16:58 Uhr, 14.09.2009

Hmm, ich habe das ungute gefühl das meine Formel für

V

nicht ganz der Wahrheit entspricht :-D). MAg vllt. Jemand noch einmal schnell drüber schauen :-)

Greetz
Promos

pleindespoir aktiv_icon

23:40 Uhr, 14.09.2009

Wie berechnet man denn ein Volumen?
Seite mal Seite mal Seite mal Seite= V

Was hast Du für Seiten?

Wie berechnet man die Oberfläche?

Hier geht es vermutlich nicht nur um eine einzelne Fläche des Quaders, sondern um die Gesamtfläche. Milchtüte anschauen und nachdenken. Oben zählt nicht mit, steht ja in der Aufgabe, dass oben offen ist.

Atompilz aktiv_icon

20:27 Uhr, 30.09.2009

Hier ist die Lösung:

Seitenlänge der Quadratischen Grundfläche

= a

Höhe

= h

Gesamtoberfläche = a²+

2 a \cdot h + 2 \cdot a \cdot h =

a²+4a*h (weil jede Fläche 2 mal vorkommt, außer die Oberfläche a²).

3dm²=

a^{2} + 4 a \cdot h ... ... .

| - a^{2}

3 - a^{2} = 4 a \cdot h ... ... .

| : 4 \cdot a

h = \frac{3 - a^{2}}{4 \cdot a}

Volumen:

V (a) = h \cdot a^{2} = \frac{3 - a^{2}}{4 \cdot a} \cdot a^{2} = \frac{3 - a^{2}}{4} \cdot a = \frac{3}{4} \cdot a - \frac{a^{2}}{4} \cdot a = \frac{3}{4} \cdot a - \frac{a^{3}}{4} = - \frac{a^{3}}{4} + \frac{3}{4} \cdot a

V (a) = - \frac{1}{4} \cdot a^{3} + \frac{3}{4} \cdot a

Max bei

V' (a) = 0

und

V'' (a) < 0

V' (a) = - \frac{3}{4} \cdot a^{2} + \frac{3}{4} = 0 ... ... .

| - \frac{3}{4}

- \frac{3}{4} \cdot a^{2} = - \frac{3}{4} ... ... .

| : (- \frac{3}{4})

a^{2} = 1 ... ... .

. |sqr

a (1) = + 1; a (1) = - 1

Da Längeneinheiten nur positiv sein können, gilt nur a=1dm

V'' (a) = - \frac{3}{2} a < 0 \Rightarrow

Bei

a = 1

ist ein Maximum.

Höhe:

a einsetzen

h = \frac{3 - a^{2}}{4 \cdot a} = \frac{1}{2}

dm

Volumen:

V (a) = - \frac{1}{4} \cdot a^{3} + \frac{3}{4} \cdot a = \frac{1}{2}

dm³

Volumenprobe:

V=a*a*h=1*1*0,5=0,5dm³

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