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Faktorisieren mit quadratischer Ergänzung

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Tags: Funktion

Begonie aktiv_icon

23:01 Uhr, 26.05.2009

hallo. kann mir einer von euch erklären wie man auf die quadratischen ergänzungen von (6b)² im ersten beispiel bzw. (16a)² im zweiten beispiel kommt? diese frage habe ich auch schon in einem anderen forum gestellt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Faktorisieren (Linearfaktorzerlegung)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Astor aktiv_icon

23:43 Uhr, 26.05.2009

Hallo,
es geht darum, die binomischen Formeln anzuwenden.

(x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}

Nun hat man einen Term der Form

4 a^{2} + 24 a b + 9 b^{2}

das

4 a^{2} = (2 a)^{2}

ist als Quadrat erkannt.
Das "24ab" soll das gemischte Glied "2xy" der binomischen Formel sein.
An der Stelle von dem "x^2" der binomischen Formel steht bei dem Beispiel "(2a)^2"
Also ist im Beispiel der Term "2a" an der Stelle von dem "x" in der Formel.
Das gemischte Glied 2xy ="24ab" ist als "2*(2a)*y" zu lesen. Also wird das y der Formel durch "6b" im Beispiel ersetzt.

Nun wissen wir: x=2a; y=6b.
An die binomische Formel angepasst, hat man:

((2 a) + (6 b))^{2} = 4 a^{2} + 24 a b + (6 b)^{2}

Im Beispiel war das

(6 b)^{2}

nicht vorhanden. Also hat man es einfach dazugeschrieben und um keinen Fehler zu machen wieder subtrahiert.

Gruß Astor

Begonie aktiv_icon

08:20 Uhr, 27.05.2009

hi. vielen dank für die schnelle antwort. leider verstehe ich das immer noch nicht. du schriebst, das man mit(6b)² ergänzt um keinen fehler zu machen. mein problem ist , warum man ausgerechnet

6 b

zur ergänzung nimmt und vor allen dingen warum man im zweiten beispiel

16 a

nimmt?

Edddi aktiv_icon

09:57 Uhr, 27.05.2009

...ich versuch's mal mit Beispielen, vielleicht ist's für dich auf diese Art nachvollziehbar.

1. Die binomische Formel:

{(4 + 3)}^{2} = (4 + 3) \cdot (4 + 3) = 4 \cdot (4 + 3) + 3 \cdot (4 + 3) = 4 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 3 \cdot 3 = 4 \cdot 4 + 2 \cdot (3 \cdot 4) + 3 \cdot 3 = 4^{2} + 2 \cdot 4 \cdot 3 + 3^{2}

allgemein, statt mit 2 Zahlen machen wir's mit Buchstaben (Variablen)

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 \cdot a \cdot b + b^{2}

2. Anwendung bei quadr. Ergänzung:

x^{2} + 4 x + 10

schöner wär' ja

x^{2} + 4 x + 4

weil

{(x + 2)}^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = x^{2} + 4 \cdot x + 4

ist.

Also machen wir's doch einfach!!!

x^{2} + 4 x + 4

...aber hinten sollte ja

+ 10

stehen????

also nehm' ich die 4 hinten wieder weg und packe dann die

10

mit dazu!!!

(x^{2} + 4 x + 4) - 4 + 10 . .

. das ist dann

x^{2} + 4 x + 10

...super...

für vorigen Term in Klammern setz' ich jetzt den quadr. Klammerausdruck

(x^{2} + 4 x + 4) = {(x + 2)}^{2}

dann sieht's so aus:

(x^{2} + 4 x + 4) - 4 + 10 = {(x + 2)}^{2} - 4 + 10 = {(x + 2)}^{2} + 6

fertig ist die qudratische Ergänzung.

Machen wir mal noch ein Beispiel (mit weniger Text):

x^{2} + 6 x + 3

die

6 x

muss ja für

2 \cdot x \cdot b

stehen, wobei

b

der 2. Summand in der Klammer nachher ist!

also muss

b = 3

sein (immer die Hälfte..logisch, oder?)

...wir probierens mal:

{(x + 3)}^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = x^{2} + 6 x + 9

...so, jetzt wieder die 9 wegnehmen, und die ursprünglichen 3 wieder dazu:

(x^{2} + 6 x + 9) - 9 + 3 = {(x + 3)}^{2} - 6 . .

. fertig

. .

. juchuuuu

...konntest du das nachvollziehen??

;-)

Begonie aktiv_icon

10:49 Uhr, 28.05.2009

hallo eddi. du das war die beste erklärung, ich habe es sofort verstanden. ich werde wahrscheinlich noch öfter hilfe benötigen. bist du immer in dem forum unterwegs? also vielen dank erstmal, das war wirklich klasse.

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