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Fibonacci Zahlen - Herleitung der Formel

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Basip aktiv_icon

20:25 Uhr, 02.04.2015

Hallo Ihr lieben!

Ich würde gerne diese Formel herleiten:

f_{n} = \frac{1}{5^{1 / 2}} [{(\frac{1 + 5^{1 / 2}}{2})}^{n} - {(\frac{1 - 5^{1 / 2}}{2})}^{n}]

Ich habe einen interessanten Beitrag gefunden. Nur verstehe ich ihn nicht so richtig. www.staff.uni-oldenburg.de/daniel.grieser/wwwlehre/Schriebe/fibonacci_Binet-Formel.pdf

Wie leitet man sie her?

Zu Anfang hat man

f_{n} = f_{n - 1} + f_{n - 2} f ü r n = 2, 3, 4, . . .

. Doch woher weiß man dies? Dann macht man eine Menge Versuche. Dabei findet man heraus, dass der Exponentalteil richtig ist (doch den Teil habe ich nicht verstanden). Den "Schritt 2" verstehe ich dann aber wieder - wir müssen mit Wurzel Fünf teilen, weil das Ergebnis sonst falsch wäre. Das Bildungsgesetz verstehe ich auch - dort fügen wir nur die erste Formel ein, durch a und b ersetzt, und teilen mit Wurzel Fünf. Wie wir dann von Anfangswerte auf das Resultat kommen, das ist mir auch Schleierhaft.

Könnte mir jemand bitte erklären, wie man die Fibunacci Formel herleitet?

Viele liebe Grüße!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

michaL aktiv_icon

20:33 Uhr, 02.04.2015

Hallo,

in
http//www.onlinemathe.de/forum/Basis-des-Fibonacci-Raums-finden
wurde schon eine Herleitung skizziert.

Mfg Michael

abakus

20:45 Uhr, 02.04.2015

"Zu Anfang hat man ... für n=2,3,4,.... Doch woher weiß man dies? "

So ist die Fibonacci-Folge ursprünglich definiert!

"Ich würde gerne diese Formel herleiten:"

Das ist ein hoher Anspruch, an dem du sicher scheitern wirst.
Das klingt hart und böse, aber:
Ich habe noch nie so eine für mich so verständliche Herleitung gesehen wie in den von dir zitierten Dokument.
Wenn du die nicht verstehst, wirst du erst recht keine eigene Herleitung finden.
Zu deiner Beruhigung: Ich habe sie zwar verstanden, würde mir aber auch nicht zutrauen, so etwas selbst aus dem Hut zu zaubern.

Aber vielleicht hast du dein Anliegen auch nur ungeschickt formuliert. Was du sicher kannst: Zu zeigen, dass diese "Wurzel-5-Formel" tatsächlich die Fibonacci-Folge erzeugt.
Dazu sind nur drei Schritte nötig:
1) Zeige durch Einsetzen von 0 in diese Formel, dass eine aus der Fibonacci-Folge bekannte Anfangszahl entsteht.
2) Zeige durch Einsetzen von 1 in diese Formel, dass die nächste aus der Fibonacci-Folge bekannte Zahl entsteht.
3) Bilde durch Einsetzen von n, (n+1) bzw. (n+2) in die Formel die drei entsprechenden Terme

f_{n}

f_{n + 1}

und

f_{n + 2}

und weise nach, dass für diese Terme

f_{n} + f_{n + 1} = f_{n + 2}

gilt (dazu musst du die Terme mit dem binomischen Satz ausmultiplizieren).

michaL aktiv_icon

22:23 Uhr, 04.04.2015

Hallo,

also, ich kann dir (nachdem ich doch endlich einen ersten und sehr oberflächlichen Blick auf das verlinkte pdf geworfen habe) einen sehr einfachen Weg der Herleitung zeigen, mit dessen Hilfe ich diese Formel immer wieder herleiten kann (hab halt keine Notwendigkeit, sie auswendig zu können).

Und zwar ist die Fibonaccifolge

{(f_{n})}_{n \in ℕ^{*}}

ja rekursiv definiert durch

f_{n + 2} = f_{n + 1} + f_{n}

(R) (im folgenden Rekursionsgleichung genannt)
und die Startwerte

f_{1} := 1

f_{2} := 1

.

Du wirst sicher nachvollziehen können, dass alle Folgen

{(f_{n})}_{n \in ℕ^{*}}

, die (R) erfüllen,zusammen mit der komponentenweisen Addition und der "Skalarmultiplikation" einen (reellen) Vektorraum bilden, oder?

Darauf baut das ganze auf.

Welche Dimension hat der Vektorraum wohl? (Die Antwort steckt in der Definition der Startwerte für die Fibonaccifolge.) Die Dimension dieses Vektorraums ist 2.

Es geht also "nur" darum, eine geeignete Basis zu finden und danach die "Koordinaten" der Fibonaccifolge bzgl. dieser Basis.

Welche Folgen sind denn (vergleichsweise) einfach handhabbar (und liegen in dem oben erwähnten Vektorraum, d.h. erfüllen (R))? Arithmetische erfüllen (R) nicht (bis Nullfolge). Die nächste Stufe ist eine geometrische

{(q^{n})}_{n \in ℕ^{*}}

.

Damit sie (R) erfüllt, muss also gelten

q^{n + 2} = q^{n + 1} + q^{n} \overset{q \neq 0}{\overset{}{\Leftrightarrow}} q^{2} = q + 1 \overset{}{\Leftrightarrow} q_{1, 2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}

.

Schön, es gibt offenbar zwei geeignete (und sogar linear unabhängige) geometrische Folgen, die (R) erfüllen. Sie bilden offenbar eine Basis des angesprochenen Vektorraums.

Nun noch die Koordinaten von

{(f_{n})}_{n \in ℕ^{*}}

bzgl. der Basis

B := {{(q_{1}^{n})}_{n \in ℕ^{*}}, {(q_{2}^{n})}_{n \in ℕ^{*}}}

:

Es muss also gelten:

1 = f_{1} = α q_{1}^{1} + β q_{2}^{1}

1 = f_{2} = α q_{1}^{2} + β q_{2}^{2}

bzw.

α (1 + \sqrt{5}) + β (1 - \sqrt{5}) = 2

α (6 + 2 \sqrt{5}) + β (6 - 2 \sqrt{5}) = 4

Dieses Gleichungssystem löst man und erhält

α = \frac{1}{\sqrt{5}}, β = - \frac{1}{\sqrt{5}}

, woraus auch (wegen der Vektorraumeigenschaft) schon folgt, dass

f_{n} = α q_{1}^{n} + β q_{2}^{n} = \frac{{(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n} + {(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n}}{\sqrt{5}}

\forall n \in ℕ^{*}

gilt. (Eine Induktion erscheint mir unnötig, wäre aber wegen (R) für alle drei beteiligten Folgen einfach zu machen.)

Mfg Michael

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