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Basis des Fibonacci-Raums finden

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Vektorräume

Tags: Beweis, dimension, Fibonacci, Vektorraum

 
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sl33ping

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12:07 Uhr, 02.12.2010

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Hallo,

Ich scheitere derzeit beim Lösen folgender Aufgabe:

Gegeben ist der Fibonacci-Raum:

S={f:N→R|f(n+2)=f(n+1)+f(n) für alle n aus N}

Gefragt ist nach einer Basis für S samt Beweis. Sowie nach der Dimension von S.

Ich weiß, dass die Dimension gleich der Anzahl der Elemente der Basis ist. Komme jedoch nicht auf die Basis.
Ich selbst dachte an folgende Basis:
{(0,1,1,2,3,...),(1,1,2,3,5,...)}. Wüsste jedoch nicht wie das zu beweisen ist.
Um es zu beweisen dachte ich, dass dann α1 *(1es Element der Basis) +α2 *(2es Element der Basis =0 sein muss, sowie span{basis} in S liegen muss.

Könnt ihr mir helfen?





Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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michaL

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12:44 Uhr, 02.12.2010

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Hallo,

du hast da tatsächlich zwei linear unabhängige Folgen. Versuche doch mal zu bestimmen, wie α1 und α2 lauten müssten bei deiner Basis. Verwende dazu die ersten beiden Einträge.

Anderer Einwand: du hast eine einfache Basis genommen. Nimmt man zwei geometrische Folgen, dann kann man sogar eine explizite Darstellung der Fibonaccifolge finden. Vielleicht lohnt der AUfwand!?!

Mfg Michael
sl33ping

sl33ping aktiv_icon

13:06 Uhr, 02.12.2010

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Müssen α1 und α2 nicht zwangsläufig 0 sein?
Ich versuch mal das zu machen was du sagst.
Für die ersten beiden Einträge:

α1⋅(0+1)+α2⋅(1+1)=0
⇒α1+2⋅α2=0
⇒α1=-2⋅α2
Hieraus würde doch folgen, dass α1 und α2 null sein können, aber es auch genug andere Lösungen gibt. Jetzt weiß ich wieder nicht weiter...


Wenn ich zwei geometrische Folgen nehmen würde, wie kann ich dann eine explizite Darstellung der Fibonaccifolge finden?


Ich hatte mir auch mal ne Basis {f(n);f(n+2)} überlegt. Hatte aber auch hier Probleme mit dem Beweis. Kann man ne Basis zu S in der Art überhaupt bilden?
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michaL

michaL aktiv_icon

13:23 Uhr, 02.12.2010

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Hallo,

ich glaube, du schreibst es nur falsch. Meiner Meinung nach solltest du α1(0;1)+α2(1;1)=(0;0) begucken (nur die Anfänge der beiden Folgen werden genommen, wenn das reicht).
Daraus müsste sich schon α1=α2=0 ergeben, da die Vektoren (0;1) und (1;1) linear unabhängig sind (was man aber erst erkennt, wenn man das LGS oben löst).

Wenn es eine geometrische Folge (qn)n∈ℕ sein soll, die als Basisfolge herhalten soll, muss sie trotzdem (oder grade dann) der Bedingung qn+1=qn+qn-1 für alle n≥1 gelten.
Du kannst die GLeichung auf q2=q+1 kürzen (sofern q≠0). Da gibt es nicht so viele Kandidaten...

Wenn du eine Basis hast, kannst du ja versuchen, die Fibonaccifolge durch diese Basis darzustellen. Dazu brauchst du die zugehörigen Koeffizienten. Die ermittelt man, indem man wieder ein passendes LGS aus den ersten beiden Folgegliedern aufbaut.
Anschließend muss man die Gültigkeit für alle Folgeglieder natürlich noch beweisen. Am besten per vollständiger Induktion. Das Ergebnis ist übrigens nicht geheim. Sicher kann man danach googlen (schllimmstenfalls wird es bei wikileaks zu finden sein :-) ).

Mfg Michael
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