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Fläche Kreissegment über Winkel

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Tags: Funktion, Integration, Körper, Kreissegment

Stuedent0815 aktiv_icon

22:48 Uhr, 06.10.2010

Meine Frage:
Hallo erstmal!
Ich bin auf folgendes Problem gestoßen:

Ein Halbkreisförmiger Trog (Masse

M)

ist mit genau der Menge Wasser gefüllt, die dem Eigengewicht des Troges entspricht. (Masse_Wasser=Masse_Trog)

Es soll die Füllhöhe des Wassers als Funktion vom Winkel

Φ

(siehe Skizze) angegeben werden.

Vereinfacht lässt sich das Problem auf die Stirnfläche des Troges reduzieren (Siehe Skizze).

Meine Ideen:
Probleme bei der Lösung:

1. Lösungsansatz: Die Gleichung für die Fläche des Kreissegmentes

(A = \frac{r^{2}}{2} \cdot

(alfa-sin(alfa)) lässt sich nicht auf alfa umformen, da der Winkel (bei unserem Fall wäre alfa=2*phi) einmal im Sinus und ausserhalb vorkommt.

2. Lösungsansatz: Als Integral der Funktion

y = {(r^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}}

(vgl. Kreisgleichung), welche den Weg des Kreissegmentes beschreibt mit den Grenzen von

r \cdot cos (φ)

bis

r

führte auch zu keiner brauchbaren Lösung. (siehe 2.te Skizze)

Bitte um Lösungsvorschläge bzw. überprüfung meiner Integraltheorie
Danke im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Kreisteile: Berechnungen am Kreis
Raummessung

pleindespoir aktiv_icon

23:30 Uhr, 06.10.2010

Mal ganz ohne Integral:

Fläche Kreissektor:

\frac{φ}{π} \cdot r^{2} π

Fläche Dreieck :

r^{2} \sin φ \cos φ

Füllhöhe:

r (1 - \cos φ)

Stuedent0815 aktiv_icon

23:53 Uhr, 06.10.2010

Steh ich heute wirklich so auf der Leitung oder was ist los?

Wo ist die erste Gleichung für die Fläche her?

Und eine kombination aus diesen 3en lässt sich noch immer nicht nach

φ

auflösen, oder?

pleindespoir aktiv_icon

23:59 Uhr, 06.10.2010

Fläche eines vollständigen Kreises:

A = r^{2} π

Verhältnis Teilwinkel / Vollkreis - Dreisatz ...

φ

habe ich nur für die Hälfte angesetzt

zweite Gleichung habe ich editiert - r als Bezug muss natürlich dazu.

wieso kannst du die Gleichungen nicht zusammenbringen?

Stuedent0815 aktiv_icon

00:11 Uhr, 07.10.2010

Das ist die Gleichung für einen Kreissektor, nicht für ein Segment!

Jetz versteh ich was du damit meinst... Aber das Problem mit dem Zusammenführen ist noch immer nicht behoben. Nach der 3. Zeile kannst dus gleich wieder vergessen :-D)

pleindespoir aktiv_icon

00:26 Uhr, 07.10.2010

A = \frac{φ}{π} \cdot r^{2} π - r^{2} \sin φ \cos φ

A = r^{2} (\frac{φ}{π} \cdot 1 π - \sin φ \cos φ)

A = r^{2} (φ - \sin φ \cos φ)

h = r (1 - \cos φ)

\frac{h}{r} = (1 - \cos φ)

\frac{h}{r} - 1 = \cos φ

φ = a r c c o s (\frac{h}{r} - 1)

A = r^{2} (a r c c o s (\frac{h}{r} - 1) - \sin (a r c c o s (\frac{h}{r} - 1)) \cos (a r c c o s (\frac{h}{r} - 1)))

A = r^{2} (a r c c o s (\frac{h}{r} - 1) - \sin (a r c c o s (\frac{h}{r} - 1)) (\frac{h}{r} - 1)))

Stuedent0815 aktiv_icon

00:31 Uhr, 07.10.2010

Das stimmt schon alles was du da machst, ist aber keine Lösung auf meine Frage!

Gesucht ist eine Gleichung der Form

φ (A, r) = . .

pleindespoir aktiv_icon

00:35 Uhr, 07.10.2010

Das war Deine Frage:

"Es soll die Füllhöhe des Wassers als Funktion vom Winkel Φ (siehe Skizze) angegeben werden."

h = r (1 - c o s φ)

beantwortet diese Frage eigentlich - die Flächenberechnung war unnötig - sorry.

Stuedent0815 aktiv_icon

00:38 Uhr, 07.10.2010

hm, sorry, war eine blöde Formulierung von mir.

Hier der Originaltext:
Bestimme den Winkel

φ

so, dass das Gesamtgewicht

G 1

der im Trog befindlichen Flüssigkeit gleich dem Gesamtgewicht

G

des Troges ist.

pleindespoir aktiv_icon

01:03 Uhr, 07.10.2010

A = r^{2} (φ - \sin φ \cos φ)

wäre es dann - hatten wir auch schon.

Du suchst aber eher wohl

φ (A)

also die Umkehrfunktion, um den Winkel bei gegebener Fläche zu ermitteln.

Das wird damit algebraisch nicht möglich sein - brauchst ein Näherungsverfahren ...

Ob andere Ansatzmethoden zu einer Funktion führen, die sich leichter invertieren lässt, glaube ich eher nicht. Aber man soll ja nie nie sagen ...

Stuedent0815 aktiv_icon

01:11 Uhr, 07.10.2010

Das Beispiel ist ein kleiner Teil einer Vorlesungsprüfung für Statik, also ist es sehr wahrscheinlich, dass es eine "einfache", nicht numerisch ermittelte Lösung gibt.

Aber ich bin mittlerweile auch der Meinung, dass es diese nicht gibt :-D)

trotzdem, Danke für deine hilfe!!

pleindespoir aktiv_icon

00:17 Uhr, 08.10.2010

Was gab es denn in der Vorlesung für eine Musterlösung?

Wäre ja mal interessant zu erfahren ...

Stuedent0815 aktiv_icon

00:36 Uhr, 08.10.2010

Das is ja das Problem: Normal gibts nach den Prüfungen immer eine Komplettlösung, diese ist aber noch nicht sehr lange her, deswegn wird Sie erst in den nächsten Wochen online gestellt werden. Werde den Lösungsweg dann posten...

hagman aktiv_icon

14:21 Uhr, 08.10.2010

Ist denn vielleicht der Wert

\frac{M}{ρ \cdot π h r^{2}}

ein besonders einfacher?

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