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Fläche berandet von Kurve

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

shiroxx aktiv_icon

20:25 Uhr, 24.11.2019

Guten Abend, ich möchte folgende Aufgabe lösen( siehe Bild und zusätzlich dann die berandete Fläche berechnen, wobei

a > 0

der Teil wurde abgeschnitten) und dazu muss ich ja die Kurve parametrisieren, oder?
Nur hab ich da leider keine Ahnung wie vorgehen muss
Ich hoffe ihr könnt mir helfen
schon mal vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

HAL9000

21:35 Uhr, 24.11.2019

Hmm, ich würde zunächst mal

{(x^{2} + y^{2})}^{2} = 2 a x (x^{2} + y^{2}) + a^{2} y^{2}

per quadratischer Ergänzung umformen:

{(x^{2} + y^{2})}^{2} - 2 a x (x^{2} + y^{2}) + a^{2} x^{2} = a^{2} (x^{2} + y^{2})

{(x^{2} + y^{2} - a x)}^{2} = a^{2} (x^{2} + y^{2})

Wenn da schon so ein schöner "Vollkreis"-Winkelbereich steht, könnte man es jetzt mal mit Polarkoordinaten versuchen, d.h.

γ (t) = (r (t) \cos (t), r (t) \sin (t))

, das ergibt eingesetzt (ich gehe mal von

a > 0

aus)

{(r^{2} - a r \cos (t))}^{2} = a^{2} r^{2}

∣ r - a \cos (t) ∣ = a

.

Das lässt sich zu (zunächst) zwei

r

-Lösungen umformen, die sich dann aber als ein- und dieselbe Kurve entpuppen.

shiroxx aktiv_icon

21:53 Uhr, 24.11.2019

Vielen Dank für die Antwort, ja

a > 0

ist vorrausgesetzt
Ich verstehe leider den ersten Schritt der quadratischen Ergänzung nicht, bzw welcher Teil genau quadratisch ergänzt wurde

ledum aktiv_icon

22:18 Uhr, 24.11.2019

Hallo

{(x^{2} + y^{2})}^{2} = A^{2}

A^2+2axA wurde mit (ax)^2 ergänzt
Gruß ledum

Respon

22:30 Uhr, 24.11.2019

Die Kardioide ( Parameter, Flächeninhalt, Kurvenlänge ) ist hier ausführlich beschrieben:
de.wikipedia.org/wiki/Kardioide

Deine Kurve geht in die Standardkardioide über, wenn du als neuen Parameter festlegst

a = - 2 \cdot b

{(x^{2} + y^{2})}^{2} = 2 \cdot a \cdot x \cdot (x^{2} + y^{2}) + a^{2} \cdot y^{2}

{(x^{2} + y^{2})}^{2} = 2 \cdot (- 2 \cdot b) \cdot (x^{2} + y^{2}) + {(- 2 \cdot b)}^{2} \cdot y^{2}

{(x^{2} + y^{2})}^{2} = - 4 \cdot b \cdot (x^{2} + y^{2}) + 4 \cdot b^{2} \cdot y^{2}

{(x^{2} + y^{2})}^{2} + 4 \cdot b \cdot (x^{2} + y^{2}) - 4 \cdot b^{2} \cdot y^{2} = 0

\Rightarrow A = 6 \cdot b^{2} \cdot π

shiroxx aktiv_icon

22:41 Uhr, 24.11.2019

Okay,dass mit der Herzlinie ist krass, vor allem frage ich mich, wie du das so leicht gesehen hast

: (

shiroxx aktiv_icon

22:49 Uhr, 24.11.2019

Woher kommt denn dieses

a^{2} \cdot A

das hab ich leider noch nicht ganz verstanden

ledum aktiv_icon

22:49 Uhr, 24.11.2019

Hallo

a)

man kennt die Cartoide

b)

man nimmt eine Zahl für a und lässt die Kurve plotten
Gruß ledum

shiroxx aktiv_icon

23:22 Uhr, 24.11.2019

Kann ich den Flächeninhalt den auch leicht herleiten, ich hab in einer anderen Aufgabe schon die Kurvenlänge von Kardioden bestimmt hilft das vielleicht?

shiroxx aktiv_icon

23:26 Uhr, 24.11.2019

Würde es mit der Leibnizschen Sektorformel machen, ich glaube so müsste es gehen

Vielen Dank

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