Fläche eines Trapez unter einer Parabel

Hi!

Für die Fläche eines Trapez gilt:

${\displaystyle {\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\frac{1}{2}*(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>})*\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Das ist unerese Maximalbedingung!

Jetzt ist das Ziel mit Hilfe von Nebenbedinungen A nur noch abhängig von einer Variablen zu machen.

a=4 --> das hattest du schon (Nullstellen)

h=f(x)

c=2x

Das wird jetzt alles in A eingesetzt:

${\displaystyle {\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=-0,5{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3-1{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+4}$

diese Fläche soll maximal sein:

${\displaystyle {\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }=-1,5{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2}$

${\displaystyle {\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }=0}$

0=-1,5x²-2x+2

0=x²+4/3x-4/3

${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{1,2}=-\frac{2}{3}\pm \sqrt{\frac{4}{9}+\frac{4}{3}}}$

${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{1,2}=-\frac{2}{3}\pm \frac{4}{3}}$

x(1)=2/3

x(2)=-2 --> kommt nicht in Frage da die c nicht kleiner als Null sein kann!

Jetzt muss man noch die 2. Ableitung bilden und f''(x1)<0 sein. Das stimmt.

Jetzt ergibt sich:

c= 4/3

h=16/9

und für A(max) folgt:

${\displaystyle {\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{max<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=4\frac{20}{27}\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{.}\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{.}}$

mfg

hi!

Zeichne mal die Funktion in ein Koordinatensytem.

Zwischen x-Achse und Graph der Funktion zeichnest du jetzt das Trapez. Hierbei ist es egal, ob die Fläche maximal ist.

Jetzt haben das Trapez und der Graph zwei gemeinsame Punkte. Der y-Wert dieser Punkte ist die Höhe. Der x-Wert dieses Punktes war ja die Hälfte von c.

Ich hoffe das ist so verständlich.

mfg