Fläche mit Doppelintegral berechnen

Hallo,

ich soll mit Hilfe des Doppelintegrals die Fläche zwischen der ersten Winkelhalbierenden y=x und der Kurve y=x² berechnen.

Die Integrationsbereiche sind: 0<x<1 ; 0<y<x² ("<" soll "größer-gleich" sein")

Ich weis aber nicht was ich als Funktion hinter dem Doppelintegralzeichen nehmen soll.

Ich hab's mal so gemacht:

${\displaystyle \iint \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Nach y integriert:

${\displaystyle ={\int }_0^1\left[\right(1/2){\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{y²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}]}_0^{\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Grenzen eingesetzt:

${\displaystyle ={\int }_0^1(1/2)\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Und nach x integriert mit Grenzen einsetzen:

$$\begin{gathered} {\displaystyle =1/12 \\ } \end{gathered}$$

Rauskommen müsste laut Taschenrechner aber 1/6, also das doppelte.

Kann mir jemand bitte den ausführlichen und richtigen Lösungsweg darlegen?