 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Fläche zwischen zwei Graphen
Fläche zwischen zwei Graphen
Schüler Fachschulen, 12. Klassenstufe
Tags: Übriges
 
|
anonymous 18:23 Uhr, 06.02.2007  |
|
|---|---|
|
Hallo, Ich habe Probleme mit folgenden Aufgaben: 1. Der Boden eines 2km langen Kanals hat die Form einer Parabel mit der Gleichung: y=1/8² (Fig.3). Dabei entspricht einer Längeneinheit 1m in der Wirklichkeit. a.) Berechnen sie den Inhalt des Querschnittsfläche des Kanals. b.) Wie viel Wasser befindet sich im Kanal, wenn er ganz gefüllt ist? c.) Wie viel Prozent der maximalen Wassermenge enthält der zur halben Höhe gefüllte Kanal? 2. Der Bogen einer Flussbrücke hat die Form einer nach unten geöffneten (Normal-)Parabel. Die Auffahrten der Brücke liegen auf verschiedenen Höhen (Fig.4). a.) Bestimmen sie mit Hilfe der Angaben in Fig.4 eine Gleichung des Brückenbogens. b.) Berechnen sie den Inhalt der Querschnittsfläche des Bogens. c.) Die Brücke ist 4m breit. Wie viel Material (in m³) wurde bei der Herstellung verbaut? Link: Figur 3/Figur 4 - [url=http://bildrian.de][IMG bildrian.de/n/b/a852b842c06871a0.jpg[/IMG][/url] 3. Wie groß ist die Fläche zwischen dem Graph von f, der Tangente in P und der x-Achse? f(x)=(x-2)^4 ; P (0/16) >>> Als ich diese Aufgabe durchgerechnet hatte, kam ich auf ein Ergebnis von 0 Flächeneinheiten, und das kann wohl nicht stimmen ... Kann mir auch hier Jemand helfen? ----- Die anderen Aufgaben habe ich auch versucht zu rechnen, aber ich bin einfach auf keinen sinnvollen Ansatz gekommen. Wir sollen diese Aufgaben zur Übung für die Klausur bearbeiten, und ich brauche die Lösung um damit dann weiter zu arbeiten ... Ich hoffe ihr könnt mir helfen ... Gruß, Skully |
|
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff) Flächenberechnung durch Integrieren | |
| |
 |
|
| Sorry, hab ich vorher vergessen: Wenn´s geht, bitte ohne den Formeleditor ... mir fehlt das Plugin ... | |
|
|
|
|
Hallo! zu 1) Du hast ja bereits eine schöne Skizze... bei a) ist die blaue Fläche gesucht. Das macht man mit Flächenberechnung zwischen zwei Funktionen. Die obere Funktion ist y = 2, die untere ist y = 1/8*x² und das ganze in den Grenzen von -4 bis 4. Also (I steht für Integral): I(2-1/8*x²)dx = 2x - 1/24*x³ in den Grenzen von -4 bis 4 =8 - 8/3 -(-8 +8/3) = 16 -16/3 =10,666... b) Hier musst du die blaue Fläche mal die Länge des Kanals nehmen, denn das ist ja dann die komplette Wassermenge c) Dasselbe wie in a) ausrechnen für y = 1 (denn er ist ja nur bis zur halben Höhe gefüllt) und y = 1/8*x² Dann hast du die Querschnuttsfläche, wenn er zur halben Höhe gefüllt ist. Prozentualer Anteil = Lösung aus c) geteilt durch Lösung aus a) UNd? Was bekommst du raus? |
|
|
|
|
|
Erstmal vielen Dank! Kann den Ansatzt nachvollziehen und hab das Ganze jetzt mal durchgerechnent: Bei a.) Komme ich auf das gleiche Ergebnis Bie b.) Habe ich allerdings jetzt noch Probleme: Wenn ich den Inhalt mit der Länge des Kanals multiplizieren muss, muss ich dann vorher die Einheiten umrechnen? Also Ergebnis von a.) hat ja in dem Sinne auch gar keine Konkrete Einheit, sondern ist lediglich in Flächeneinheiten angegeben ... Die Länge des Kanals beträgt 2km, ich kann doch jetzt aber nicht einfach das Ergebnis von a.) verdoppeln, oder? Wie rechne ich da geschickt um? c.) Das Endergebnis des Rechnung für y=1 und y=1/8x²: 8/3 FE >> Hoffe, das stimmt so ... den prozentualen Anteil konnte ich jetzt noch nicht ausrechnen, da mir je noch das benötigte Ergebnis von b.) fehlt. Wer kann mir einen Tipp geben? |
|
|
|
|
|
Du hast recht. Man muss die Einheiten natürlich umrechnen. Einen Hinweis dazu findest du in der Aufagebnstellung!!! Da steht: 1LE entspricht 1m in Wirklichkeit. Damit wäre dann Ergebnis von a) 32/3 FE enstpricht 32/3 m² Also: Wasservolumen = 32/3m²*2km = 32/3m²*2000m = 64000/3 m³ = 21333,33.. m³ Das kann man jetzt noch in eine Wassermenge ( die ja normalerweise in litern angegeben wird) umrechnen: 1 dm³ entspricht 1 Liter Wasser Also: 21333,33... m³ = 21 333 333,33... dm³ Also 21 Millionen 333Tausend und 333,33.. Liter Wasser!!! c.) Das Endergebnis des Rechnung für y=1 und y=1/8x²: 8/3 FE >> Hoffe, das stimmt so ... Ja, das stimmt! Alles richtig gemacht! den prozentualen Anteil konnte ich jetzt noch nicht ausrechnen, da mir je noch das benötigte Ergebnis von b.) fehlt. Doch, denn die Länge ist ja bei beiden gleich. Ob du jetzt zuerst noch beide Ergebnisse mal 2 km rechnest oder nicht ist egal, da du ja den prozentualen Anteil bildest, teilst du ja das eine durch das andere, d.h. die 2 km würden sich rauskürzen. Also: prozentualer Anteil = (8/3)/(32/3) = 1/4 = 25 % Ist der Kanal nur zur halben Höhe gefüllt, beträgt das Wasservolumen im Gegensatz zum vollgefüllten Kanal nur 25 %. Weitere Fragen? Ansonsten gibt's Hinweise zu b) und c)... hast du da schon was probiert? |
|
|
|
|
|
Vielen, vielen Dank! Hier habe ich dann auch keine weiteren Fragen mehr. Zu 2.) Hier habe ich noch nicht wirklich was hinbekommen ... Für einen Tipp wäre ich also sehr dankbar! Zu 3.) Hier habe ich Folgendes: f(x)=(x-2)^4 ; P(0/16) Ableitung: f´(x)=4(x-2)³ >> Hier bin ich mir leider überhaupt nicht sicher, ob das so stimmt ... Weiter: Setzte die x-Koordinate von P in f´ein und berechne die Steigung m: m=4(0-2)³=-32 > Setze m und die Koordinaten von P in y=mx+b ein und berechne b: 16=-32*0+b 16=b y=-32x+16 >> Tangentengleichung Löse nach x auf. x=0,5 >> Ist der Schritt der Tangentengleichung sinnvoll? Zunächst müsste ich ja jetzt das Integral aufstellen, um die komplette Fläche zwischen dem Grapg und der x-Achse zu berechnen, oder? >> ich habe jetzt Probleme das Integral aufzustellen, und ... wie muss ich überhaupt weiter rechnen? Gruß, Skully |
|
|
|
|
|
gut, zunächst zur 3) hier hast du die Tangentengleichung vollkommen richtig ausgerechnet, die Ableitung und so stimmte alles... Also ist Gesucht: die Fläche zwischen f(x) = (x-2)^4 y = -32x + 16 und der x-Achse Wenn du die Funktionen mal zeichnest (bzw. eine Skizze machst, erkennst du, dass die gesuchte Fläche im Bereich von x = 0 bis etwa x = 2 liegt. Es ist zusammengesetzt aus 2 INtegralen: 1. Integral: gebildet aus der Differenz von f(x) und der Geradengleichung (Gerade liegt niedriger als Funktion) in den Grenzen von 0 (dem Schnittpunkt von Tangente und f(x)) bis zum Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse. 2. INtegral: gebildet nur aus f(x) in den Grenzen vom Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse bis zum SChnittpunkt von f(x) mit der x-Achse. Also: Berechne zunächst genaue Grenzen des Integrals: Schnittpunkt von Graph und Tangente: x = 0 Schnittpunkt von Tangente mit x-Achse: x = 0,5 Schnittpunkt von f(x) mit x-Achse: x = 2 1. Integral: I((x-2)^4 - (-32x+16))dx in den Grenzen von 0 bis 0,5 2. Integral: I((x-2)^4)dx in den Grenzen von 0,5 bis 2 Soweit klar? Ist der Ansatz nachzuvollziehen? Dann mal los mit dem INtegrieren... :-) |
|
|
|
|
|
Ja, der Ansatz ist nachzuvollziehen ... Ich habe da nur noch ein paar Fragen: Der Schnittpunkt zwischen Graph und Tangente muss durch Gelichsetzen der beiden Funktionen bestimmt werden, oder? Schnittpunkt von Tangente mit x-Achse: y=o und nach x auflösen ? Schnittpunkt von f mit der x-Achse: Nullstellenbestimung ? Dann habe ich versucht das erste Integral auszurechnen, habe da aber ein Problem. Wie genau stelle ich die Rechnung auf? 1. Stammfunktion bilden: 1/5x(x-2)^5*1 und 1/2(-32x+16)²(-1/32) ?? 2. Obere und untere Grenze des Integrals einsetzten. Setze ich dann zuerst 0 und 0,5 in F ein und dann auch beide Grenzen in die Stammfunktion von y? Bitte nochmal um Hilfe ... |
|
|
|
|
|
Ich komme immer noch nicht weiter ... Wer kann helfen? Gruß, Skully |
|
|
|
|
|
So, ich hab jetzt nach langem Überlegen doch die Integrale aufgestellt und Folgendes errechnet, was mir recht seltsam vorkommt ... Lösung, 1.Integral: -627/160 lösung, 2.Integral: -243/160 >>> Bzw. mit positivem Vorzeichen, da Flächen keinen negativen Inhalt haben können, oder? >> Wenn ich diese Ergebnisse addiere, habe ich dann den gesuchten Flächeninhalt? Ich glaub ich steh grad voll auf dem Schlauch ... Also, ich bitte hiermit um Korrektur meiner Ergebnisse und auch über Tipps zu Aufgabe 2 würde ich mich sehr freuen ... ;-) Gruß, Skully |
|
|
|
|
|
Hallo! Melde mich jetzt erst wieder, da ich am WE nicht online war... Also, zu deinen Fragen: Der Schnittpunkt zwischen Graph und Tangente muss durch Gelichsetzen der beiden Funktionen bestimmt werden, oder? Ja! Schnittpunkt der rauskommt ist x = 0 Schnittpunkt von Tangente mit x-Achse: y=o und nach x auflösen ? Ja! Schnittpunkt der rauskommt ist x = 0,5 Schnittpunkt von f mit der x-Achse: Nullstellenbestimung ? Ja! Schnittpunkt der rauskommt ist x = 2 Dann habe ich versucht das erste Integral auszurechnen, habe da aber ein Problem. Wie genau stelle ich die Rechnung auf? I((x-2)^4 - (-32x+16))dx in den Grenzen von 0 bis 0,5 = I((x-2)^4 + 32x - 16 ) dx in den Grenzen von 0 bis 0,5 | jetzt integrier ich: = 1/5*(x-2)^5 + 16 x² - 16 x in den Grenzen von 0 bis 0,5 |Grenzen einsetzen, "obere Grenze minus untere Grenze" = 1/5*(0,5-2)^5 + 16*0,5² - 16*0,5 - 1/5*(0-2)^5 - 0 + 0 = 0,88125 2. Integral: I((x-2)^4)dx in den Grenzen von 0,5 bis 2 |integrieren =1/5*(x-2)^5 in den Grenzen von 0,5 bis 2 |Grenzen einsetzen: = 1/5*(2-2)^5 - 1/5*(0,5-2)^5 = 1,51875 Deine Lösungen waren: Lösung, 1.Integral: -627/160 lösung, 2.Integral: -243/160 Das zweite INtegral stimmt bis auf das Vorzeichen überein. Vermutlich hast du "untere minus obere Grenze" gerechnet ?!? Normalerweise sind Integralöe nur negativ, wenn die Fläche unterhalb der x-Achse liegt, was ja hier aber nicht der Fall ist. Was du beim ersten integral falsch gemacht hast weiß ich nicht...falsche Stammfunktion vielleicht? naja...insgesamt ergibt sich also ein Flächeninhalt von 2,4. Gobt's noch weitere Fragen hierzu? Ansonsten zur zweiten Aufgabe: 2. Der Bogen einer Flussbrücke hat die Form einer nach unten geöffneten (Normal-)Parabel. Die Auffahrten der Brücke liegen auf verschiedenen Höhen (Fig.4). a.) Bestimmen sie mit Hilfe der Angaben in Fig.4 eine Gleichung des Brückenbogens. Stelle eine allgemeine Parabelgleichung auf: f(x) = ax² + bx + c a ist dabei ein Stauch- oder Streckfaktor. Da es sich um eine nach unten geöffnete Parabel handelt, ist dieser Faktor negativ, da es sich um eine Normalparabel handelt, ist er also a = -1 b und c kannst du bestimmen, indem du verschiedene Punkte (x|y) der Parabel in die Gleichung einsetzt. Lege ein Koordinatensystem so in das Bild, dass der Ursprung unten links am Brückenpfeiler ist. Dann kannst du die beiden Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse ablesen. in obige Formel einsetzen und b, c bestimmen Schaffst du's? Zum Vergleich: f(x) = -x² + 8x - 7 b.) Berechnen sie den Inhalt der Querschnittsfläche des Bogens. Hier musst du integrieren. Ich nehme an, dass damit die braune Fläche (und nicht die weiße?!?Die Bezeichnung Brückenbogen ist nicht ganz eindeutig, finde ich) im Bild gemeint ist Also: Gleichung für die obere Gerade (die die Brücke oben begrenzt) aufstellen Die Parabelgleichung von dieser Geraden abziehen und anschließend die Differenzfunktion integrieren, Grenzen sind x = 0 (linkes Ende der Brücke) und x = 8 (rechtes Ende der Brücke) c.) Die Brücke ist 4m breit. Wie viel Material (in m³) wurde bei der Herstellung verbaut? Hier kommst du bestimmt selber drauf!!! Oder? |
|
|
|
|
|
Vielen Dank, erstmal. Ein paar Probleme hatte ich jedoch doch noch ... Also, zu 3.): Ich weiß auch nicht, aber ich habe beim 1.Integral eine andere Stammfunktion gehabt, kam aber im Endeffekt auf das gleiche Ergebnis, nämlich 2,4 ... hier meine Rechnung (leider mit verdrehten Vorzeichen, aber ich werde da wohl einfach Betragsstriche setzen können ...) [1/5(x-2)^5*1]-[1/2(-32x+16)²+(-1/32)] In den Grenzen 0 bis 0,5 wenn ich die Grenzen eingesetzt hab (wieder verkehrt herum), dann hab ich Folgendes: (-6,4 - 243/160)-(-4-0)= -1267/160-(-4)= -627/160 Beim zweiten Integral hab ich dann ja -243/160 raus und das hab ich dann mit der Lösung des ersten Integrals addiert und kam auch auf 2,4 ... (glaube zumindest, dass ich es so gemacht hab ;-) ) So, jetzt zur neuen Aufgabe: Die Ansätze sind absolut nachvollziehbar, und wenn ich so darüber nachdenke hätte ich da selbst drauf kommen müssen ... Ich habe jetzt allerdings ein Problem damit b und c zu bestimmen ... wie genau mach ich das? Ich lege das Koordinatensystem so, wie du es beschrieben hast, aber ich glaube ich lese die Punkte falsch ab ??? @Dank deines Kontrollergebnisses konnte ich aber noch weiter rechnen: Aufstellen der Geradengleichung: y=1/8x+4,5 ??? Differenzfunktion: D(x)=x²+8,125+11,5 > Bin mir hier leider wieder mal total unsicher ... habe aber dann mit dieser Funktion das Integral aufgestellt und hier nun mein Ergebnis: 522 2/3 FE > kommt mir falsch vor ... Bitte um Kontrolle ... Gruß Skully |
|
|
|
|
|
Hallo! zu 2): Punkte, die ich einsetze, sind: (1|0) und (7|0) (1|0) ist das rechte Ende des linken Pfeilers (7|0) ist das linke Ende des rechten Pfeilers Dann: f(x) = -x² + bx + c -1² + b + c = 0 (i) -7² + 7b + c = 0 (ii) b + c - 1 = 0 (i) 7b + c - 49 = 0 (ii) Additionsverfahren:(ii) - (i): 6b - 48 = 0 -> b = 8 -> c =-7 Aufstellen der Geradengleichung: y=1/8x+4,5 Alles korrekt gemacht! Differenzfunktion d(x) = 1/8x + 4,5 - (-x² + 8x - 7) = x² - 7,875x + 11,5 Integrieren, Grenzen einsetzen liefert: 10 2/3 FE Alles klar? War nur ein Vorzeichenfehler bei dir drin... Und nochmal zur 3) Die Differenzfunktion für das erste Integral lautet: (x-2)^4 - (-32x+16) Am einfachsten ist es, vor dem Integrieren hinten die minus-Klammer aufzulösen: (x-2)^4 + 32x - 16 Dann kann man nämlich einfach integrieren. 1/5*(x-2)^5 + 32/2x² - 16x Deine Funktion 1/5(x-2)^5*1]-[1/2(-32x+16)²+(-1/32)] ist keine Stammfunktion zur Differenzfunktion, wenn du das ableitest erhältst du: (x-2)^4 -[(-32x + 16)*(-32) + 0] = (x-2)^4 -32*32x + 32*16 -> es kommt nicht die ursprungsfunktion raus...falsches Integral! Das du trotzdem auf dasselbe ergebnis wie ich kommst, liegt daran, dass du anshcließend noch einen fehler machst, du rechnest nämlich: -627/160 + 243/160 anstatt (nach deinem konsequenten Vorzeichenfehler) -627/160 - 243/160 Dass dabei also wie bei mir 2,4 rauskommt ist meines Erachtens reiner Zufall!!! Liebe Grüße und bei weiteren Fragen bitte ruhig nochmal melden :-) |
475516
475504