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Flächenberechnung Quadrat/ Kreis-/Ellipsenabschnit
Sonstiges
Tags: Ellipsenabschnitt , Kreisabschnitt, Quadrat, Trigonometrie
 
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Hallo zusammen, ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe (Bild ist die Fläche des Quadrates und des Kreisabschnittes soweit korrekt? (Bild und wie geht es nun mit der Ellipsenabschnittsfläche weiter? was muss ich mit und machen? (Bild Viele Grüße und danke im Voraus    |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Sinus (Mathematischer Grundbegriff) Kosinus (Mathematischer Grundbegriff) Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff) Tangens (Mathematischer Grundbegriff) Rechenregeln Trigonometrie Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Definition von Sinus, Kosinus und Tangens Flächenmessung Quadrat / Rechteck / Parallelogramm Wurzelgesetze |
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Bei der Ellipse ist die kleine Halbachse b = a/sqrt(3)
Begründung:
Ellipsengleichung: x²/a² + y²/b² = 1 Die große Halbachse a ist gegeben (nämlich a). Die Ellipse geht durch den Punkt x = a/2; y = a/2. Einsetzen: a²/(4*a²) + a²/(4*b²) = 1 umformen liefert b = a/sqrt(3)
In der Formelsammlung (Rottmann) findet man für den Flächeninhalt zwischen der kleinen Achse und der zu dieser parallelen Sehne im Abstand x1 dieses: F = b/a * ( x1*sqrt(a² - x1²) + a²*arcsin(x1/a) ) Diese Formel erhält man auch durch Integration. Das hierbei notwendige Integral von sqrt(a² - x²) steht auch in der Formelsammlung. Damit ergibt sich für das Ellipsensegment die Fläche a² * (Pi*sqrt(3)/9 - 1/4)
und für das Quadrat einschließlich Ellipsensegment Ae = a² * (Pi*sqrt(3)/9 + 3/4)
Der Quotient ist Ae/Ak = (8*Pi*sqrt(3)+54)/(9*Pi+54) = 1,185438....
Ae ist also um 18,54% größer als Ak
GRUSS, DK2ZA
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