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Formel wachsende Wachstumsrate

Universität / Fachhochschule

Tags: Geometrische Folge, Wachstum, Zinseszins, Zinsrechnung

MikeLondon aktiv_icon

16:50 Uhr, 14.08.2015

Liebes Forum,

ich bin hier neu, hoffentlich verstosse ich nicht direkt beim ersten Posting gegen eine Regel. Ich bitte es mir nachzusehen.

Meine Problemstellung ist, dass ich gerade in MS Excel ein Modell bauen will, bei dem eine Inflationskurve dargestellt wird.

Ich habe eine Tabelle als Bild angehängt anhand derer ich das Problem weiter beschreiben will:

\cdot

Die in Zeile

1 (Z 1)

dargestellte Reihe enthaelt die Inflation pro Jahr fuer die Perioden 0 bis

17

\cdot

In den Anfangsjahren 0 und 1 sind die Werte festgelegt mit inflation(t0)=0% und inflation(t1)=1%

\cdot

Danach soll jedes Jahr der Inflationswert um einen konstanten Faktor wachsen (Zelle

Z 4 : S 1) :

inflation(tn+1)=inflation(tn)*(1+faktor)

. .

\cdot

...sodass sich ein definierter Durchschnitt ueber den gesamten Betrachtungszeitraum hinweg ergibt

(1.45 %

(Zelle

Z 6 : S 1))

aequivalent zu: (Index17/Index0)^(1/(t17-t2))-1 .

Bedingung fuer die Loesung ist, dass man sie in Excel verformeln kann und sie nicht auf einem iterativen Prozess beruht.

Ich habe den vagen Verdacht, dass man dieses Problem durch linearisierung mit Logarithmus angehen kann, aber habe leider keine konkrete Idee.

Vielen Dank im Voraus, das ist fuer die meisten hier bestimmt ein "no-brainer"

Beste Gruesse,

Michael

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)
Mitternachtsformel

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Zinsrechnung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Bummerang

17:20 Uhr, 14.08.2015

Hallo,

also wenn man Deinen Text liest, dann ist der Anfang vorgegeben, die

4,5 %

sind vorgegeben und ergeben den Rest der Tabelle und die

1,45 %

sind auch vorgegeben. Was also ist noch zu berechnen? Was ist das Ziel der Frage? Irgendwie fehlt mir da eine Aufgabenstellung...

MikeLondon aktiv_icon

02:55 Uhr, 15.08.2015

Hi, wahr wohl etwas missverständlich dargestellt.

Gegeben ist folgendes:
1. die Reihe startet bei

1 %

2. der Durchschnitt der Werte beträgt

1.45 %

3. die Werte wachsen um einen konstanten Multiplikator: Wert(t) = Wert(t-1)*(1+x)

Frage: mit welchem Wert

x

wächst meine Reihe geometrisch derart, dass der Durchschnitt am Ende bei den gegebenen

1.45 %

liegt?

Grüße,

Michael

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09:22 Uhr, 15.08.2015

gelöscht

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10:26 Uhr, 15.08.2015

Ich verstehe immer noch nicht, worauf du hinauswillst. Bei der vorgegebenen Zahlenreihe kann man nicht auf den Durchschnittswert

1,45 %

kommen. Dazu müsste man den die Zahlenwerte abändern. Der Durchschnittswert ist durch die Reihe eindeutig festgelegt und liegt unter

1,45 %

nach meiner Berechnung. Die Aufgabe ist widersprüchlich.

MikeLondon aktiv_icon

10:32 Uhr, 15.08.2015

Nur die Blauen Werte sind fix. Ich lade am Montag im Büro eine neue Darstellung hoch.
Die schwarzen Zahlen ergeben sich durch Formeln. Der Punkt ist der, dass der Wachstumsfaktor ("x") derart sein soll dass die durchschnittliche implizite Wachstumsrate dann bei

1.45 %

liegt

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10:48 Uhr, 15.08.2015

Ein durchschnittlicher Wachstumsfaktor von

1,0145

(entpricht

1,45 %)

kann sich nur ergeben, wenn bestimmtes Einzelwerte in den einzelnen Jahren vorliegen. In deinem Fall müsste die

17

. Wurzel als dem Produkte aller jährlichen Wachstumsfaktoren den Wert

1,0145

liefern. Das tun aber deine Werte nicht.
Irgendwie zäumst du das Pferd von hinten auf: Du gibst ein Ergebnis vor und Zahlenwerte, die dazu führen sollen. Dabei widersprechen sich aber Ergebnis und Zahlenwerte.
Woher stammen die nicht-fixen Werte ?

MikeLondon aktiv_icon

11:59 Uhr, 15.08.2015

Ich habe nochmal versucht das Problem verständlich aufzumalen.

ledum aktiv_icon

12:12 Uhr, 15.08.2015

Hallo
bei mir ergibr sich aus

{(1 + x)}^{17} = 1.2783

sehr wohl

x = 1.45 %

gerundet-
Gruß ledum

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13:03 Uhr, 15.08.2015

Das geometrische Mittel der Inflationsraten in der 1. Zeile ergibt nicht diesen Wert.
Für die Index-Werte hast du natürlich recht.Das Fragestellung war diesbezüglich anfangs nicht eindeutig.

MikeLondon aktiv_icon

13:37 Uhr, 15.08.2015

Das zusammengesetzte jährliche Wachstum des Index (von

100

auf

127.7)

soll

1.45 %

über

17

Jahre betragen.
Die individuelle jährliche Wachstumsrate folgt einer Kurve, startend bei

1 %

und jedes Jahr um

\cdot (1 + x)

wachsend.

ledum aktiv_icon

01:26 Uhr, 16.08.2015

Hallo
ich verstehe noch nicht genau , was gegeben ist und was gesucht.

a) t = 0 K = 100100

t = 1

bis

t = 17

durchschnittliche Inflationsrate

1,45 %

ergibt

100 \cdot {(1 + 0.0145)}^{17} = K (17) = 1.277

oder du hast

K (0)

und

K (17

gegeben und willst die durchschnittliche Inflationsrate

x

berechnen?
dann hast du

{(1 + x)}^{17} = 1.2783

oder

17 \cdot ln (1 + x) = ln (1.2783)

1+x=exp(

\frac{ln (1.2783)}{17}) = 1.014547

gerundet

1.0145

b)

Änderung der Inflationsrate du sagst mit konstantem Faktor

a,

d . h

Jahr

11 %

Jahr

21 % \cdot a

Jahr

31 % \cdot a^{2}

Jahr

171 % \cdot a^{16}

in deiner Tabelle multiplizierst du

(1 + x)

mit einem faktor, warum?
eine andere Möglichkeit ist, dass auch

x

mit einer Wachstumsfunktion wächst also

x (t) = (1 + y) 1^{t}

was ist jetzt beabsichtigt. sowohl das eine wie das andere kann man aus deiner Tabelle nicht ablesen, weder sind die faktoren zwischen je

2 S

gleich, noch wachsen sie gleichmäsig an.
Gruß ledum

MikeLondon aktiv_icon

13:05 Uhr, 17.08.2015

Hi ledum, danke für die Antwort.

Die ganze Problemstellung beruht auf einer praktischen Frage:

Ich versuche eine Kurve zu modellieren die die erwartete Inflation darstellt. Dazu habe ich die "Markterwartung" von

1.45 %

für die nächsten

17

Jahre sowie eine eigene Annahme dass die Inflation dieses Jahr

0 %

und kommendes Jahr

1 %

sein wird.

Auf Basis dieser Angaben ergibt sich dann die Form der Kurve dann als Resultat (wenn man annimmt dass es ein exponentielles Wachstum ist).

Die Aufgabenstellung oben mit Inflation, Index und Wachstumsfaktor in meinem ursprünglichen Post habe ich so formuliert weil ich das Problem wie folgt heruntergebrochen habe:

In

17

Jahren ist der Index-Wert "Index(17)" gleichd em heutigen Index-Wert "Index(0)" mal der zusammengesetzten Verzinsung (Inflation) für

17

Jahre mit durchschnittlich

1.45 %

.

als Formel wäre das dann:
Index(17) = Index(0)

\cdot

(1+Inflation)^17
Index(17) = Index(0)

\cdot {1,0145}^{17}

127.73 = 100.00 \cdot {1,0145}^{17}

Die Variable nach der mal jetzt lösen muss, ist der Faktor um den die Infaltion jährlich wächst:
Inflation in

t (0)

ist

0 % \to

fix gegeben
Inflation in

t (1)

ist

1 % \to

fix gegeben
Inflation in

t (2)

ist Inflation(1)*(1+x)

\to

variabel, wächst mit

(1 + x)

Inflation in

t (3)

ist Inflation(2)*(1+x)

\to

variabel, wächst mit

(1 + x)

Inflation in

t (4)

ist Inflation(3)*(1+x)

\to

variabel, wächst mit

(1 + x)

Inflation in

t (5)

ist Inflation(4)*(1+x)

\to

variabel, wächst mit

(1 + x)

...und so weiter

Ich hoffe jetzt ist es klar?

Vielen Dank!!!

Grüße,

Michael

ledum aktiv_icon

15:11 Uhr, 17.08.2015

Hallo
dann hast du doch einfach Inflation(t)=(1+x)^(t-1)
damit hast du Inflation

(17) = 2.02

(laut Tabelle) also

{(1 + x)}^{16} = 2,02

ln (1 + x) = \frac{ln (2.02)}{16}

x = 4,49 %

allerdings Inflation(2)=1+x=1.05 ergibt

x = 5 %

Inflation

(10) = 1.49

daraus

ln (1 + x) = \frac{ln (1.49)}{9}

x = 4,53 %

aus Inflation(4)=1,14
ergibt sich

x = 4,46 %

wie also kommt es zu deiner Tabelle?
umgekehrt, wenn dein "Wachstum" der Inflation

4,5 %

beträgt hast du I(17)=1.045^16
wahrscheinlich ist deine tabelle zu stark gerundet?
Was genau willst du jetzt haben?
eine Formel füpr I(t) hast du schon
wenn du besser bei Inflationsrate 1 bei

t = 0

anfängst
hast du die Differentialgleichung

K' (t) = 1 . 045^{t} \cdot K (t)

mit

K (0) = K_{0} = 100

oder K_0=101wenn du annnimmst, dass die Inflationsrate kontinuierlich wächst,(

t

dann in Jahren)
kanst du die Dgl lösen oder brauchst du dazu noch Hilfe? schreib

1 . 045^{t} = e^{t \cdot ln (1.045)}

dann ist die Losung einfach
Gruß ledum

MikeLondon aktiv_icon

13:32 Uhr, 18.08.2015

Danke das ist schon sehr hilfreich, ich denke eins Schritt fehlt noch.
Der Wert für die Inflationsrate ist ja in den Perioden nicht bekannt (nur der Anfangswert in

t 0

mit

0 %

und

t 1

mit

1 %),

da er mit einer gewissen Rate

(x)

wächst, sodass sich dann im Ergebnis eine effektive Wachstumsrate von

1,45 %

über alle Perioden ergibt.

Ich habe mal den Gedankengang aufgemalt im Anhang

. .

. allerdings komme ich damit immernoch nicht aud den Wachstumsfaktor

x

mit dem sich dann von Index(0) auf Index(17) das korrekte jährliche durchschnittliche Wachstum von

1.45 %

ergibt.

ledum aktiv_icon

23:07 Uhr, 18.08.2015

Hallo
1. es ist ungeschickt bei I_0 anzufangen besser ab dem Punkt, wo du eine feste Wachstumsrate hast, also bei I_1
Was gegeben ist und was gesucht ist mir immer noch nicht klar.
in den ersten post stand die blauen Zahle, I_0=100 , I_1=101 average Inflation rate ( nicht gesagt über welche Zeir aber anscheinend

17

Perioden? ) UND inflation grows

4.5 %

ich dachte

u

willst eine formel um damit die I_k und die entsprechenden inflations auszurechnen. jetzt hast du nur noch die mittlere Inflationsrate und die

17

perioden, und willst

x =

Inflariongrowth berechnen?
I17 mit dem average zu berechnen ist einfach, hast du auch richtig, aber was du mit der growth machst verstehe ich nicht. I_5 ist noch richtig, die ii1 bis

i_{5}

auch, wie du damit auf I_(17) kommst verstehe ich nicht:
setz doch mal diene I_2 bis

i_{5}

in I_5 ein und überprüf daran deine Formel
ich denke immer noch du brauchst eine Dgl für I ich nenn das lieber

K

wegen der Lesbarkeit.
die änderung von

K

ist in jedem Moment poportional zu

K

K' = (1 + i) \cdot K

jetzt ist

i

nicht konstant, sondern

i = {(1 + x)}^{t} (

immer von

t = 0

bei

i : 0 = 1 %

ausgehend)
also hast du die Dgl

K' (t) = (1 + 1 \cdot {(1 + x)}^{t}) \cdot K

Was daran gefällt dir nicht.
Gruß ledum.

MikeLondon aktiv_icon

15:20 Uhr, 19.08.2015

〉 〉

Was gegeben ist und was gesucht ist mir immer noch nicht klar.

Gegeben ist der Anfangswert des "Index", also

100,

sowie die Inflationsrate

i (t = 1)

mit

1 %

woraus sich dann auch

K (1) = 101

ergibt. Weiters gegeben ist die durchschnittliche Inflationsrate über alle Perioden hinweg mit

1.45 %

also

{(\frac{K (T)}{K (0)})}^{\frac{1}{T}} - 1,

und damit auch

K (T)

als

K (0) \cdot {(1 + 1.45 %)}^{T}

〉 〉

in den ersten post stand die blauen Zahle, I_0=100 , I_1=101

〉 〉

average Inflation rate ( nicht gesagt über welche Zeir aber

〉 〉

anscheinend

17

Perioden? ) UND inflation grows

4.5 %

Die

1.45 %

sind der Durchschnitt über den Gesamten Yeitraum, also die

17

Perioden.

〉 〉

ich dachte

u

willst eine formel um damit die I_k und die

〉 〉

entsprechenden inflations auszurechnen. jetzt hast du nur

〉 〉

noch die mittlere Inflationsrate und die

17

perioden, und

〉 〉

willst

x =

Inflariongrowth berechnen?

Wenn ich

x

berechnen kann, kann ich auch alles andere berechnen :-)

〉 〉

die änderung von

K

ist in jedem Moment poportional zu

K

〉 〉

K′=(1+i)⋅K jetzt ist

i

nicht konstant, sondern

i = (1 + x) t

〉 〉

(immer von

t = 0

bei

i : 0 = 1 %

ausgehend)

〉 〉

also hast du die Dgl

〉 〉 K

′

(t) = (1 + 1 \cdot {(1 + x)}^{t}) \cdot K

Sollte der "1"er nicht ein

i

sein?

K

′

(t) = (1 + i \cdot {(1 + x)}^{t}) \cdot K

Ich weiß noch nicht ganz wie ich das derart nach

x

auflösen kann, dass ich es auch in Excel verformeln kann :-\

〉 〉

Was daran gefällt dir nicht.

〉 〉

Gruß ledum.

Gefällt mir doch eh - vielen Dank für die geduldige Hilfe :-)

ledum aktiv_icon

00:23 Uhr, 20.08.2015

Hallo
das 1 ist die

1 %

von

i_{1},

die ja vorgegeben war.
Gruss ledum

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