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Fragen zu "Wachstum/Abnahme mit Beschränkung"

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen,

Tags: abnahme, Begrentzes Wachstum, logistisches Wachstum, Wachstum

 
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altruiste

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18:46 Uhr, 21.05.2012

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Mein Spezialgebiet für die anstehende Mathe-Matura lautet Abnahme und Wachstum bei Beschränkung. Ich habe versucht mir die Fragen über andere Threads zu beantworten, aber es scheint, als ob mir noch grundlegende Dinge fehlen.

Also, grundlegend unterscheidet man unendlichen Wachstum und beschränktes, weil die Änderungsrate bei beschränktem Wachstum nicht gleich bleibt bzw abnimmt oder? Siehe Glas: anfangs ist das Einfüllen noch problemlos, je näher man der Schranke kommt (Glasrand) desto mehr Wasser spritzt (bei gleichem "Einschüttdruck") heraus.

In meinem Buch ist nun die Formel N(n)=c⋅an gegeben. Wobei das c hier auch als N(0) beschrieben werden könnte bzw einfach die Anfangsmenge bedeutet oder?

Nun kommt man durch Umformen auf N(n+1)=N(n)+C⋅N(n).[K-N(n)]
Eine Frage am Rande wäre hierbei: die Differenz [K-N(n)] beschreibt insgesamt die Menge um die es in dem gewissen Zeitraum zunimmt oder?
Mein größtes problem ist aber jenes C. Oft wird es ja auch als k bezeichnet. Hoffnungsvoll versuchte ich dieses k aus ek⋅t herzuleiten, aber ich verstehe weder woher es kommt, noch genau was es zu bedeuten hat. Denn wenn es wirklich die Wachstumskonstante ist müsste ich es ja von at herleiten können?

Dies betrifft ja alles das diskrete logistische Wachstum. Doch was genau ist nun der UNterschied zum kontinuierlichen? Die Formel habe ich, aber ich würde gern verstehen was es bedeutet die Schranke mal den Anfangswert zu multiplizieren? Bzw. denkt ihr dass es noch "wichtig wäre" das zu meinem Spezialgebiet dazuzunehmen?

Zum Schluss habe ich noch eine Aufgabe an der ich mich versucht hätte

Aufgabe 3: Beschränktes Wachstum bei Baumschäden
In einem Bestand von ursprünglich 10000 Bäumen werden jedes Jahr 8% der noch nicht geschädigten Bäume
durch den Borkenkäfer befallen.
a) Berechne die Zahl B(t) der befallenen Bäume nach t=1,2,3,4,5,10, und 20 Jahren
b) Nach wie vielen Jahren wären 90% aller Bäume befallen?
c) Zeige, dass die Zahl der kranken Bäume dem Gesetz des beschränkten Wachstums folgt und gib die
Sättigungsgrenze S sowie die Änderungsrate p∈% an

[beigelegte Lösung]
a) Die Zahl der nach t Jahren noch nicht geschädigten Bäume ist M(t)=10000⋅0,8t. Die Zahl der nach t Jahren
befallenen Bäume ist B(t)=10000 − M(t)=10000(1 − 0,8t)B(0)=0;B(1)=2000;B(2)=3600;B(3)=
4880;B(4)=5904;B(5)=6723;B(10)=8926 und B(20)=9885.
b)M(t)=0,1⋅M(0) 10 000⋅0,8t=0,1⋅10000t=log0,1log0,810,3 Jahre
c)B(t+1) − B(t)=M(t) − M(t+1)=0,2⋅M(t)=0,2⋅[10000 − B(t)]k=0,2


Meine Überlegeung für a) wäre gewesen B(t)=10000-10000⋅0,92t
Hier das erste Problem: erstens verstehe ich nicht wieso in der Lösung etwas von 0,8 steht und zweitens muss ich nicht hier schon die Formel für begrenztes Wachstum einsetzen. Aber dazu fehlt mir ja dieses ominöse "k".
Bei b) wäre meine Überlegung 0,9⋅10000=10000-10000⋅0,08t
wobei das ja auch nicht stimmen kann, da hier etwas unter einem Jahr herauskommt.

Da dies auch bei anderen AUfgaben auf diesem Zettel oft vorkam (1-at)- was indiziert das?


Diese ausführlichen und teilweise wahrscheinlich naiven Fragen tun mir wirklich Leid, aber ich möchte dieses Thema wirklich verstehen, denn ich kann/will unter anderem, trotz jahrelangem Training meines Lehrers, keine Formeln auswendig lernen.

Ich danke schonmal im Voraus :-)





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Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)
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