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Fresnelsche Formeln nach Brechungsindex umstellen

Universität / Fachhochschule

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Tags: Brechungsindex, Fresnel, Funktion, Winkelfunktion, Wurzel

Anlex aktiv_icon

18:06 Uhr, 30.05.2009

Wie der Titel schon sagt geht es im Folgenden darum, die jeweilige Formel nach dem Buchstaben n (Brechungsindex) umzustellen.

Ich gehe zunächst von folgender Formel aus:

r_{⊥} = \frac{(\sqrt{n^{2} - \sin^{2} α} - \cos α)^{2}}{n^{2} - 1}

Durch Umformungen komme ich etwa bis zu folgender Zeile:

(r_{⊥} - 1) n^{2} = \cos (2 α) - 2 \cos (α) \sqrt{n^{2} - \sin^{2} (α)}

Hier komme ich nicht weiter. Ich weiß einfach nicht, wie ich das

n^{2}

aus der Wurzel rausbekommen soll. Kann mir jemand weiterhelfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

DK2ZA aktiv_icon

18:43 Uhr, 30.05.2009

Bringe den Ausdruck

2 \cdot cos (α) \cdot \sqrt{n^{2} - {sin}^{2} (α)}

auf die linke Seite und alles andere nach rechts.

Dann quadriere beide Seiten. Es entsteht eine Gleichung, in der

n^{4}

und

n^{2}

vorkommen. Substituiere

n^{2} = u

und löse die entstehende quadratische Gleichung.
Resubstituiere.

Um herauszufinden, welche der vier Lösungen die richtige ist, mache die Probe durch Einsetzen von Zahlen.

GRUSS, DK2ZA

Anlex aktiv_icon

19:37 Uhr, 30.05.2009

Auf dem Weg komme ich zu folgender Gleichung:

n^{4} + (\frac{4 \cos (α)}{r_{⊥} - 1} \sqrt{n^{2} - \sin^{2} (α)} + \frac{4 \cos^{2} (α)}{(r_{⊥} - 1)^{2}}) n^{2} - \frac{1}{(r_{⊥} - 1)^{2}} = 0

Mal davon abgesehen, dass es eine absolute Qual darstellt, hier mit pq-Formel vorzugehen, so stellt sich doch das Problem, dass da immernoch eine Wurzel mit mehreren Summanden im Radikanten und darunter ein

n^{2}

steht. Funktioniert das auf diesem Weg überhaupt?

DK2ZA aktiv_icon

19:45 Uhr, 30.05.2009

Es sollte eigentlich nach dem Quadrieren keine Wurzel mehr vorkommen.

Anlex aktiv_icon

19:58 Uhr, 30.05.2009

Okay, dann führe ich den Weg zur letzten Gleichung eben schrittweise vor:

Terme von

n

auf eine Seite bringen:

(r_{⊥} - 1) n^{2} + 2 \cos (α) \sqrt{n^{2} - \sin^{2} (α)} = \cos (2 α)

Beide Seiten Quadrieren:

(r_{⊥} - 1)^{2} n^{4} + 4 (r_{⊥} - 1) \cos (α) \sqrt{n^{2} - \sin^{2} (α)} n^{2} + 4 \cos^{2} (α) (n^{2} - \sin^{2} (α)) = \cos^{2} (2 α)

Und daraus wird durch eine weitere Umformung die Gleichung aus meinem letzten Post.

DK2ZA aktiv_icon

20:02 Uhr, 30.05.2009

Ich hatte geschrieben:

. .

. und alles andere nach rechts.

Anlex aktiv_icon

21:21 Uhr, 30.05.2009

Achso, das erklärt einiges. Gut, wenn ich so weiterrechne gelange ich an folgenden Punkt:

n^{2} = \frac{\cos (2 α) r_{⊥} + 1}{(r_{⊥} - 1)^{2}} \pm \sqrt{\frac{(\cos^{2} (2 α) - 1) r_{⊥}^{2} - 2 (\cos (2 α) - 1) r_{⊥} - 1}{(r_{⊥} - 1)^{4}}}

Wohlgemerkt, rechts steht alles unter der Wurzel. Hier komme ich jedenfalls wieder nicht weiter. Wenn das anständig nach

n

umgestellt werden soll, muss sich diese Wurzel da doch auflösen lassen.. Ich sehe aber nicht, wie.

DK2ZA aktiv_icon

09:09 Uhr, 01.06.2009

Die Wurzel muss sich nicht auflösen lassen. Es genügt, wenn

n

allein auf einer Seite steht.

Gegeben war

r = \frac{{(\sqrt{n^{2} - {sin}^{2} (α)} - cos (α))}^{2}}{n^{2} - 1}

Nach

n

aufgelöst:

Die Zeile wird zu lang, deshalb Hilfsgröße

h :

h = \frac{({cos}^{2} (α) - {sin}^{2} (α)) \cdot (r - 1) + r^{2} - r + 2 \cdot {cos}^{2} (α)}{{(1 - r)}^{2}}

n = \pm \sqrt{(h + \sqrt{(h^{2} - \frac{4 \cdot {sin}^{2} (α) \cdot {cos}^{2} (α) + {({sin}^{2} (α) - {cos}^{2} (α) - r)}^{2}}{{(1 - r)}^{2}})})}

Zur Probe:

Berechne

n

für einige Werte von

α

und

r

.
Setze dieses

n

in die ursprüngliche Gleichung ein und erhalte wieder

r

.

GRUSS, DK2ZA

Anlex aktiv_icon

23:46 Uhr, 01.06.2009

Vielen vielen Dank für die Hilfe erstmal. Aber ich habe mich gleich beim Ansatz ungeschickt angestellt. Das ganze lässt sich nämlich noch wesentlich einfacher auflösen, dazu muss man aber die Formel anders darstellen:

r_{⊥} = \frac{\sqrt{n^{2} - \sin^{2} (α)} - \cos (α)}{\sqrt{n^{2} - \sin^{2} (α)} + \cos (α)}

Würde man diesen Bruch mit dem Term im Zähler erweitern, so könnte man im Nenner die dritte binomische Formel anwenden und würde zu der Formel gelangen, die ich ursprünglich verwendet hatte. Mit dieser nun vorliegenden Form jedoch gestaltet sich die ganze Rechnung leichter, erst mit dem Nenner der rechten Seite multiplizieren:

r_{⊥} \sqrt{n^{2} - \sin^{2} (α)} + r_{⊥} \cos (α) = \sqrt{n^{2} - \sin^{2} (α)} - \cos (α)

Wurzeln auf eine Seite, Rest auf die andere:

(1 - r_{⊥}) \sqrt{n^{2} - \sin^{2} (α)} = (1 + r_{⊥}) \cos (α)

Setze nun, unter der Voraussetzung, dass gilt

r < 1

k := \frac{(1 + r_{⊥})}{(1 - r_{⊥})}

Damit ist nach Quadrieren

n^{2} - \sin^{2} (α) = k^{2} \cos^{2} (α)

Alles außer

n^{2}

auf die rechte Seite bringen, Wurzel ziehen:

n = \pm \sqrt{k^{2} \cos^{2} (α) + \sin^{2} (α)}

(Dabei muss im vorliegenden Fall das positive Vorzeichen gewählt werden.)

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