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Für welche x sind folgende Funktionen stetig..?

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Gebrochen-rationale Funktionen, hebbare Definitionslücke, Rationale Funktionen, Stetigkeit

Steffo3012 aktiv_icon

13:17 Uhr, 08.11.2019

Hallo ihr, bin neu hier und möchte folgende Frage äußern, in der Hoffnung, von euch Hilfe zu bekommen:

Für welche x sind folgende Funktionen stetig?
(Wie) Lassen sich die Unstetigkeitsstellen beheben?

$f (x) = {\binom{x^{4} + 2 x^{3} + 2, x \leq 1}{3 x^{3} - 2 x + 4, x > 1}}$

$g (x) = \frac{x^{2} + 2 x - 8}{x^{2} - 5 x + 6}$

Die Definition von Stetigkeit ist mir bekannt, auch die der hebbaren Lücke.
So wie ich es einschätze, müsste die erste Funktion keine Definitionslücke haben, da der obere Teil bis einschließlich 1 definiert ist und der untere ab 1. Somit müssten alle $x \in$ D stetig sein.

Bei der Gebrochenrationalen Funktion finde ich keinen Grenzwert, und wo dieser nicht vorhanden ist, ist die Funktion nicht stetig...?

Vielen Dank für eure Hilfe!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Grenzwerte an einer Stelle

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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13:35 Uhr, 08.11.2019

1. Es muss gelten:

$3 x^{2} - 2 x + 4 = 5$

$5 = f (1)$

2)Faktorisieren:

$x^{2} + 2 x - 8 = (x + 4) (x - 2)$
$x^{2} - 5 x + 6 = (x + 3) (x - 2)$

Damit kannst du kürzen und die Lücke $x = 2$ einsetzen.

anonymous

13:38 Uhr, 08.11.2019

Hallo
$1) f (x)$
"So wie ich es einschätze, müsste die erste Funktion keine Definitionslücke haben"
Ich kann dich ermutigen...

"...da der obere Teil bis einschließlich 1 definiert ist und der untere ab 1."
...nur ist deine Begründung völlig ungeeignet.

Wo würdest du denn eine Unstetigkeit deiner Funktion $f (x)$ vermuten?
Was kannst du an dieser Verdachtsstelle über die Funktion aussagen?

$2) g (x)$
"Bei der (g)ebrochen rationalen Funktion finde ich keinen Grenzwert"
Du drückst dich unklar aus. Was für einen Grenzwert willst du denn suchen oder finden?

Auch hier wieder:
Wo würdest du denn eine Unstetigkeit oder Definitionslücke deiner Funktion $g (x)$ vermuten?

Tipp: Linearfaktor-Zerlegung

Steffo3012 aktiv_icon

19:22 Uhr, 08.11.2019

Vielen Dank, für die Hilfe!

War tatsächlich unpräzise.
Die Annahme kam zustande , da es auf den ersten Blick so schien, als würde die Funktion rechts und links gegen 1 konvergieren, was natürlich nicht stimmt. Dann wäre x an der Stelle 1 selbst ja nicht definiert.
Ich wollte über f(x) aussagen, dass für jedes $x \in D$ ein Funktionswert existiert. Damit muss sie stetig sein.

Bei g(x) habe ich nach dem Plotten sehen können, dass x=2 nicht definiert ist,
was nach der Linearfaktorzerlegung natürlich auch klar wird.

Nun heißt es, eine Definitionslücke ist hebbar, wenn der Grenzwert vorhanden ist.
Dann gehört das x an der Stelle der Lücke, mit der Funktion gleichgesetzt. Es entsteht eine neue, stetige Funktion.

Das war der Grund, weshalb ich den Grenzwert erwähnt habe.
Doch nun habe ich durch Ausklammern der höchsten Potenz des Nenners,
den Grenzwert y=1 ermittelt. Er existiert also. Und somit müsste die
Lücke hebbar sein...?

LG

anonymous

19:31 Uhr, 08.11.2019

"Ich wollte über $f (x)$ aussagen, dass für jedes $x$ ein Funktionswert existiert. Damit muss sie stetig sein."
Oh je, oh je, das zeigt, wie wenig du noch von Stetigkeit verstanden hast.
Das gilt doch für jede Funktion.

Vorschlag: Treffen wir uns auf den GPS-Koordinaten 9° $30'$ 00" östlicher Länge,
ich bring ein Tässchen Kaffee und einen Goldbarren mit.
Warum werden wir uns wohl nicht treffen?

anonymous

19:37 Uhr, 08.11.2019

zu $2) g (x)$
Die Frage war: Wo würdest du denn eine Unstetigkeit oder Definitionslücke deiner Funktion $g (x)$ vermuten?

Eine Stelle
$x = 2$
hast du ja schon richtig erkannt.
Was ist denn an der Stelle
$x = 2$
?
Warum ist das eine Unstetigkeit oder Definitionslücke?

Gibt es vielleicht noch weitere (Verdachts-) Stellen?

Was ist mit der Linear-Faktor-Zerlegung?

Steffo3012 aktiv_icon

19:43 Uhr, 08.11.2019

Der Grenzwert meines Wissens über stetigkeit,
konvergiert gegen den Sinn,
hier eine Frage zu dem Thema zu stellen.

Für den Wert ganzen Wissens, ist der Sinn nicht definiert.

Steffo3012 aktiv_icon

19:49 Uhr, 08.11.2019

g(x)
Ich habe auf dem Plotter gesehen, dass bei x=3 noch
ein Grenzwert existiert. Nur komme ich nicht drauf,
wie dieser zu errechnen ist.
Müsste dann auch eine Definitionslücke sein,
da ja kein Funktionswert jemals den Wert x=3 erreichen wird.
An der Stelle x=2 müssten wir durch Null
teilen, um den Funktionswert zu erhalten, was wir nicht dürfen. Somit ist
dieser x-Wert nicht definiert.

anonymous

19:50 Uhr, 08.11.2019

ok -
also das Beispiel mit den GPS-Koordinaten will doch verdeutlichen:
Es macht doch keinen Sinn, für einen Treffpunkt nur die geographische Länge zu vereinbaren.
Für einen Treffpunkt müssen wir doch sowohl
$>$ die geographische Länge
$>$ als auch die geographische Breite
vereinbaren.

Übertragen auf Mathematik und Stetigkeit:
Der Sinn der Stetigkeit ist doch nicht, dass irgendwelche x-Werte exisitieren,
wir müssen doch auch guggen, ob die y-Werte sich treffen.

Also nochmals für
$1) f (x)$
Welche Stelle willst du untersuchen?
Antwort:
Es wird wohl die Stelle
$x = 1$
sein.

Wie lautet der links-seitige Funktionswert von $f (x)$ dort?
Wie lautet der rechts-seitige Funktionswert von $f (x)$ (bzw. dessen Grenzwert) dort?

Steffo3012 aktiv_icon

20:02 Uhr, 08.11.2019

Beispiel verstanden...

Der ("linksseitige") Funktionswert von x=1 ist y=5
(Einsetzen von 1 in beide Teile der Funktion für x)
Der rechtsseitige Wert kann nicht 5 sein, nähert sich aber beliebig
an diesen Wert an...?

anonymous

20:07 Uhr, 08.11.2019

$1) f (x)$
Prinzipiell ja.
Darf ich in meine Worte fassen:

Die Verdachtsstelle liegt bei
$x = 1$
da hier die Abschnitts-Grenze der abschnittsweise definierten Funktion ist.

Der linksseitige Funktionswert ist:
$f (1) = 5$
Der rechtsseitige Grenzwert der Funktion hier ist
$lim_{x \to 1^{+}} f (x) = 5$

Da links-seitiger und rechts-seitiger Funktionswert an der Stelle $x = 1$ gleich sind, ist die Funktion stetig.

Steffo3012 aktiv_icon

20:15 Uhr, 08.11.2019

Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen!

anonymous

20:21 Uhr, 08.11.2019

und $2) g (x)$ ?

Steffo3012 aktiv_icon

21:19 Uhr, 08.11.2019

für g(x) haben wir die Definitionslücke bei x=2
ermittelt. Die Nullstelle des Nenners ist also 2.
Die Nullstelle des Zählers ist auch 2. Da diese sich
gleichen, liegt möglicherweise eine hebbare Lücke vor.

Dies prüfen wir durch Kürzen des Funktionsterms:

$x^{2} + 2 x - 8 = (x + 4) (x - 2)$
$x^{2} - 5 x + 6 = (x + 3) (x - 2)$

$x^{2} + 2 x - 8 = (x + 4)$
$x^{2} - 5 x + 6 = (x + 3)$

Da 2 keine Definitionslücke des gekürzten Terms ist,
handelt es sich um eine hebbare Definitionslücke.

Für den Bruch, der noch übrig bleibt:
Die Nullstelle des Nenners ist nicht gleich der, des Zählers.
somit handelt es sich um eine Polstelle..?

anonymous

22:42 Uhr, 08.11.2019

zu $2) g (x)$
Da ist schon viel Wahres dran (und doch noch Unsicherheit-verheißende "?" sichtbar).

Darf ich mal wieder in meine Worte fassen (vielleicht hilft's ja zu mehr Systematik):

$g (x) = \frac{x^{2} + 2 \cdot x - 8}{x^{2} - 5 \cdot x + 6}$

Die viel empfohlene Linear-Faktor-Zerlegung hätte gelautet:

$g (x) = \frac{x^{2} + 2 \cdot x - 8}{x^{2} - 5 \cdot x + 6} = \frac{(x + 4) \cdot (x - 2)}{(x - 3) \cdot (x - 2)}$

Ein Bruch ist dort nicht definiert, wo durch 'Null' geteilt wird.
Folglich müssen wir doch die Stellen betrachten, in denen der Nenner 'Null' wird ("verschwindet").
Da war die Linear-Faktor-Zerlegung sehr hilfreich - anschaulich:

Der Nenner verschwindet an den zwei 'Verdachtsstellen':
$2.1) x = 2$
$2.2) x = 3$

Wir werden also zwei Verdachtsstellen untersuchen müssen.:
$2.1)$ Die Stelle $x = 2 :$

Auch hier war wieder die Linear-Faktor-Zerlegung sehr hilfreich.
Es drängt sich gerade zu auf, die Lücke durch Kürzen zu beheben:

$g (x) = \frac{(x + 4) \cdot (x - 2)}{(x - 3) \cdot (x - 2)} = \frac{x + 4}{x - 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Kürzen:
g^#(x) $= \frac{x + 4}{x - 3} \cdot 1 = \frac{x + 4}{x - 3}$

Beachte: Ich habe
$>$ gekürzt
$>$ und damit die Lücke 'behoben'
$>$ und dabei formal zwischen "g(x)" und "g^#(x)" unterschieden,
das um deutlich zu machen, dass man eben nicht bedingungslos kürzen darf, weil ja die Operation (geteilt durch Null) im Raume steht.

In anderen Worten:
$>$ Die Original-Funktion $g (x)$ ist an der Stelle $x = 2$ nicht definiert!
...da Division durch 'Null'.
$>$ Die um die Lücke behobene Funktion g^#(x) ist an der Stelle $x = 2$ definiert - du hast kein Problem, hier den Funktionswert
g^#(x=2) $= \frac{2 + 4}{2 - 3} = - 6$
zu errechnen und zu benennen.

Schlussfolgerung:
Die Funktion $g (x)$ hat an der ('Verdachts-) Stelle $x = 2$ eine behebbare Lücke, und ist folglich hier stetig.

$2.2)$ Die ('Verdachts-') Stelle $x = 3 :$
Uneigentlicher $(!)$ Grenzwert für den linksseitigen Funktionswert:
$lim_{x \to 3^{-}} g (x) = lim \frac{(x + 4) \cdot (x - 2)}{(x - 3) \cdot (x - 2)}$
Nur der Nenner geht gegen Null.
Der Funktionswert strebt gegen $- \infty,$ also unterschreitet alle Grenzen.

Uneigentlicher $(!)$ Grenzwert für den rechtsseitigen Funktionswert:
$lim_{x \to 3^{+}} g (x) = lim \frac{(x + 4) \cdot (x - 2)}{(x - 3) \cdot (x - 2)}$
Nur der Nenner geht gegen Null.
Der Funktionswert strebt gegen $+ \infty,$ also überschreitet alle Grenzen.

Schlussfolgerung:
$>$ da lässt sich nix beheben,
$>$ das ist eine klassische Polstelle,
$>$ das ist und bleibt unstetig.
Die Funktion $g (x)$ ist an der ('Verdachts-') Stelle $x = 3$ unstetig.

$2.3)$
Häufig vernachlässigt, aber vielleicht der Übersicht halber zusammenfassend eine Aussage über die Stetigkeit der Gesamt-Funktion:
Ähnlich wie ein Gegenbeispiel einen ganzen Beweis über den Haufen wirft, macht eine Unstetigkeitsstelle die gesamte Funktion unstetig.

Da an der Stelle $x = 3$ eine Unstetigkeit besteht, ist die Funktion $g (x)$ insgesamt unstetig.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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