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Funktion in quadratische Funktion umformen

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Cosh, Funktionalanalysis, Trigonometrie

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10:29 Uhr, 01.06.2017

Funktion:

cosh (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}

Setzen Sie

cosh (x) = y

und

e^{x} = w

. Quadratische Gleihung soll erhalten werden.

y = \frac{w + \frac{1}{w}}{2}

Soll ich mit einem einfachen

w

erweitern? Also: yw

= \frac{w^{2} + 1}{2} \Rightarrow w^{2} -

2yw

+ 1 = 0

Gleichung lösen anhand der kleinen Lösungsformel:

w = y \pm \sqrt{y^{2} - 1}

Somit erhalte ich:

x 1 = ln (y - \sqrt{y^{2} - 1})

und

x 2 = ln (y + \sqrt{y^{2} - 1})

a)

Jetzt kommt der Bereich, wo ich mich nicht auskenne. Gefragt ist:
Zeigen Sie, dass

x 1 = - x 2

ist. Erläutern Sie den Grund dafür und erklären Sie, was dies für die inverse Funktion bedeutet.

x (y) = {cosh}^{- 1} (y)

Wählen Sie den positiven Zweig der inversen Funktion,

x 2 (y),

und berechnen Sie die Ableitung

\frac{d x 2 (y)}{d y}

.
Hier muss, glaube ich, nur

x 2 = ln (y + \sqrt{y^{2} - 1})

abgeleitet werden. Also:

\frac{\frac{y}{\sqrt{y^{2} - 1}} + 1}{\sqrt{y^{2} - 1} + y}

oder

\frac{1}{\sqrt{y^{2} - 1}}

Brauche Hilfe bei

a)

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Hierzu passend bei OnlineMathe:
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