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Funktionenschar - Parameter ... Wie geh ich da ran

Schüler Fachoberschulen, 12. Klassenstufe

Tags: Funktionenschar, Parameter

boorpsi aktiv_icon

12:04 Uhr, 08.05.2010

hallo,

ich hab in 2 wochen meine Abschlussprüfung in Mathe (fachoberschule) und habe ein problem mit Funktions-scharen weil ich nicht weiß wie ich da ran gehen muss. Bei den prüfunen sind meist ein oder zwei aufgaben mit dabei

. .

. nur in der Schule haben wir es nicht behandelt und jetzt auch keine zeit mehr uns damit zu beschäftigen, da nächste woche ja nur 3 tage schule sind

: (

Z . B

(1)Nennen Sie je eine Gemeinsamkeit und einen Unterschied aller
Grafen der Funktionenschar ya = ga(x)

= (a + 1) x + 1, a

R!

Geben Sie ein a an, bei dem der Winkel vom Grafen von

g

zur
Abszissenachse β=45° beträgt!

(2)2.1.Gegeben sind die Funktionen ya = qa(x) = 4x²

+ 6 x + a, a

Є R. Die Tangente an
den Grafen von qa im Berührungspunkt

P

sei

y = g (x) = 2 x + 1

. Berechnen Sie a
und

P!

(3BE)

(3)Gegeben ist die Funktionenschar yt=ht(x)=2x⋅(

\frac{x^{2}}{t}

−2x+t) , t≠0 .
Ermitteln Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen in
Abhängigkeit von

t!

mir fehlt bei solchen aufgaben immer der ansatz. ich hoffe es kann mir hier einer erklären damits dann auch in der prüfung klappt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

bboybino aktiv_icon

12:42 Uhr, 08.05.2010

OK.. erstmal zur 1. Aufgabe..

Eine Gemeinsamkeit könnte ein Punkt sein in dem sich alle Graphen treffen.. an dem Punkt würde quasi a "wegfallen" bzw keine Rolle spielen... eine Idee?

olli1973 aktiv_icon

12:51 Uhr, 08.05.2010

(1) :

In diesem Fall wäre eine Gemeinsamkeit aller Graphen zu ga(x) der Punkt an der Stelle

x = 0,

(a + 1) \cdot x + 1

für

x = 0

immer 1 ist, weil ein Produkt immer null ist, wenn einer der Faktoren null ist, es kommt also in diesem Fall nicht auf

(a + 1)

an. Der gemeinsame Punkt ist

P (0; 1)

Einen Unterschied aller Graphen von ga(x) kann man sehen, wenn man ga(x) ableitet und ga'(x)=a+1 erhält, die Extreme befinden sich an einer anderen, von a abhängigen Stelle.

Gesucht ist der Parameter

a,

der zu einer Steigung von 45° (Tangentensteigung

m = 1)

an der X-Achse führt, es müssen also 2 Bedingungen vorliegen:

ga(x)=0
ga'(x)=1

In diesem Fall ist das aber recht einfach zu lösen, weil es sich um eine lineare Funktion handelt, der Anstieg des Graphen also je Parameter an jeder Stelle des Graphen gleich ist.

Wir bilden also die Ableitung und die muss 1 ergeben:

ga'(x)=a+1=1

\Rightarrow a = 0

Antwortsatz: Für

a = 0

ergibt sich ein Schnittwinkel von 45° mit der X-Achse.

boorpsi aktiv_icon

12:56 Uhr, 08.05.2010

naja wenn ich ein paar werte einfach mal einsetzte hab ich immer einen Achsenschnittpunkt bei

(0; 1)

aber dazu werde ich halt in der prüfung keine zeit haben einfach mal werte einzusetzten...

@ olli : super erklärung

...

.

kannst du mir eine allgemeine Vorgehensweise erklären wie ich solche aufgaben lösen sollte?

bboybino aktiv_icon

13:02 Uhr, 08.05.2010

ich vogel hab mir die Fkt. auch falsch aufgeschrieben.. und zwar mit

(a + 1) \land x

bei der 2. würde ich die Ableitung von

y = 2 x + 1

bilden.. weil das ne Lineare Funktion is ändert sich diese ja nicht
(EDIT: weil es sich um ein Berührpunkt handelt, müssen beide an der Stelle die gleiche Steigung haben)
dann die Ableitung von qa(x) bilden und mit dem Wert den du vorher rausbekommen hast gleichsetzen..

dann bekommst du einen

X

wert raus, an dem die sich schneiden..

den dann bei

y = 2 x + 1

einsetzen und du hast deinen

Y

Wert..

X

und

Y

dann bei qa(x) einsetzen und du bekommst a raus :-)

a = 2

x = - 1 / 2

zur 3.

yt=ht(x)=2x⋅(

x 2 t

−2x+t) , t≠0

bedeuetet das 2x((x^2)t-2x+t) ?

olli1973 aktiv_icon

13:02 Uhr, 08.05.2010

Hallo,

es geht nicht darum, ein paar Punkte einzusetzen, sondern sich mal anzugucken, wann die Funktion einen von a unabhängigen Wert hat. Und das ist halt im Falle von

x = 0

offensichtlich, weil dann der gesamte Term

(a + 1)

mit null multipliziert wird und somit quasi wegfällt.

Und wenn man sich anschaulich begreiflich macht, dass es sich um eine recht einfache lineare Funktion

(y = m \cdot x + n)

mit

m = a + 1

handelt, dann sieht man einen Unterschied und eine Gemeinsamkeit:

Unterschied ist der Anstieg

m,

Gemeinsamkeit ist der Punkt bei

x = 0

olli1973 aktiv_icon

13:36 Uhr, 08.05.2010

@ bboybino

hab ich auch so (ähnlich) gemacht und bin zum gleichen Ergebnis gekommen.

@ boorpsi:

Bei

(3)

sind gesucht Nullstellen und Y-Abschnitte, also ht(x)=0 und ht(0)=

ht(x)=

2 \cdot x \cdot ((\frac{x^{2}}{t})

−

2 \cdot x + t)

Zuerst der Y-Abschnitt, der ist einfach, also für

x = 0

einsetzen:

ht(x)=

2 \cdot 0 \cdot ((\frac{0^{2}}{t}) - 2 \cdot 0 + t)

ht(x)=

0 \cdot ((\frac{0}{t}) - 0 + t)

ht(x)=

t \Rightarrow

Sy(0;0)

(Damit haben wir auch unsere erste Nullstelle)

Jetzt genau andersherum, also nicht

x = 0

sondern

y = 0

ht(x)=

2 \cdot x \cdot ((\frac{x^{2}}{t})

−

2 \cdot x + t) = 0

2 \cdot x \cdot (\frac{x^{2}}{t})

−

2 \cdot x + t = 0 |

geteilt durch

2 x \Rightarrow x 1 = 0 \Rightarrow

Sx1(0;0)

(\frac{x^{2}}{t})

−

2 \cdot x + t = 0 |

mal

t

x^{2} - 2 \cdot t \cdot x + t^{2} = 0

PQ-Formel:

x = - \frac{- 2 t}{2} \pm \sqrt{t^{2} - t^{2}}

x 2 = t \Rightarrow

Sx2(t;0)

Antwortsatz: Der Y-Abschnitt ist zugleich die erste Nullstelle, jedoch nicht abhängig von

a

. Die zweite Nullstelle liegt bei

x = t

und ist somit abhängig von

t

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