Funktionenscharen

Hallo, ich bin ganz neu hier und hoffe ihr könnt mir helfen.
Ich werd mich natürlich acuh einbringen.
Zur Zeit machen wir Funktionenscharen, wobei uns Aufgaben genannt werden die für unsern Wissensstand zu schwer sind.
Deswegen ist mein Wissen über dieses Thema eher begrenzt.
Nun zur Aufgabe:
Fig. 159.1 zeigt drei Schaubilder (das sind ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1}$, ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{0,5}}$ und ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$) der Funktionenschar mit ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{x³<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-3\mathrm{t²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ${\displaystyle (\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{}_0{}^{+})}$

Berechnen 8für allgemeines t) den Schnittpunkt des Schaubildes ${\displaystyle {\mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ von ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ mit der positiven x-Achse sowie seinen Hoch- und Tiefpunkten.

Für welchen Wert von t:

a) geht ${\displaystyle {\mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ durch A(3/0) (durch B(2/6,25))

b) ist die 2. Winkelhalbierende Tangente im Ursprung

c) liegen die Extrempunkte auf der 2 Winkelhalbierenden

d) ist die Tangente im Schnittpunkt mit der positiven x-Achse parallel zur 1. Winkelhalbierenden?

Danke für jeden Tip und Ansatz, bin wirklich etwas überfragt weil ich das Thema noch nie gemacht habe.

mfg Lasse

Lass Dich durch die Parameter nicht verwirren. Betrachte diese einfach als im Prinzip gegebene Zahlen, die Du aber vorläufig nicht kennst. Der Vorteil ist, dass man viele Kurvendiskussionen auf einen Schlag erledigt.

Um ein Gefühl für die Schar zu bekommen kannst Du zunächst mal t=1 setzen und die Funktion ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3-3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ diskutieren und zeichnen.

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3-3{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=3{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-3{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$ ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}"\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=6\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Dies ist eine Parabel 3. Grades, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist, weil keine Terme mit geraden Exponenten von x vorkommen.

1) Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse [y=0])

${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-3{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2)=0\Rightarrow {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=0;{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{2,3}=\pm \left|\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right|\sqrt{3}=\pm \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\sqrt{3}}$
2) Punkte mit waagrechter Tangente (Kandidaten für Extrema): ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=0\Rightarrow {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2={\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\Rightarrow \left|\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right|=\left|\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right|\Rightarrow {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{4,5}=\pm \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$
${\displaystyle \mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(-\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}|2{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3)}$ ${\displaystyle \mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right|-2{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3)}$

a) Welche der Scharfunktionen geht durch A(3|0)? Setze x=3 und y=0 in die Schargleichung ein und löse nach t auf:
${\displaystyle 0=3^3-3{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2*3\Rightarrow 0=27-27{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\Rightarrow {\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2=1\Rightarrow \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\pm 1\Rightarrow \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}$ laut Angabe darf t nicht negativ sein.
b) Die 2. Winkelhalbierende hat die Gleichung y=-x und damit die Steigung -1

Es ist also die Gleichung f'(x)=-1 zu lösen .................

c) ..................

d) ...................

Das kannst Du jetzt sicher selber.

Mehr zu dem Thema zum Beispiel hier:

www.lsg.musin.de/mathe/lerninhalte/klasse11/Ableitung/Kurvenschar.htm

Hi, danke für die Hilfe. Echt genial!

Ich werd das gleich mal übernehmen und probieren alles soweit zu verstehen.
Werd die Lösungen dann hier Nachtragen, so haben dann ja auch andere was davon.

mfg Lasse

Gute Frage, steht den das ² nur für t oder für 3 und t, wenn es für beides stünde wären -27t² ja durchaus richtig sonst hättest du recht.

Akonia, Du hast völlig Recht. es muss 9 heißen. Im Eifer des Gefechtsund in der Hoffnung auf ein "schönes" Ergebnis habe ich geschlampt.