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Funktionsanpassung

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Anpassung, Funktion, Gebrochen-rationale Funktionen

Bluedays1988 aktiv_icon

15:05 Uhr, 12.04.2008

Hallo...Ich benötige Hilfe...
Ich muss eine Aufgabe über die Funktionsanpassung bei meiner GFS erklären...
Können sie mir bitte erklären was die Funktionanpassung bei gebrochen rationaler Funktionen ist...Die Aufgabe verstehe ich auch nicht ganz...

Aufgabe:

Um die Unterschiede in der natürlichen Vegetation auf der Erde zu beschreiben, kann der Ertrag der oberirdischen Pflanzenmasse (der so genannten Biomasse) pro Flächeninhalt und Zeit herangezogen werden. Die produzierte Biomasse hängt von vielen Faktoren ab. Für das Amazonasgebiet in Brasilien wurde die Abhängigkeit vom Niederschlag untersucht.

Durchschnittl.. Jahresniederschlag

x (\in m) 0,5;

1,0;

2,0;

3,0;

4,0;

Biomasse

y (\in

kg/m²

\cdot a)

0,78;

1,27;

1,93;

2,29;

2,47;

a)

Veranschaulichen Sie die Messwerte in einem xy- Koordinatensystem

b)

Für die Funktionsanpassung bietet sich eine Gleichung der Form

y =

/ x + d

an.
Zeigen Sie: Trägt man 1 durch

y

gegen 1 durch

x

in einem Koordinatensystem auf, erhält man eine Gerade mit der Steigung

d

durch

c

und dem Achsenabschnitt 1 durch

c .

c)

Transformieren Sie die Werte der Tabelle nach

b)

. Ermitteln Sie mithilfe einer Ausgleichsgeraden die Parameter

c

und

d

. Zeichnen Sie ein Schaubild der zugehörigen Funktion in das Koordinatensystem aus

a)

ein.

Es wäre sehr nett, wenn irgendjemand mir helfen würde..Vielen Dank nochmals...

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

MBler07 aktiv_icon

18:36 Uhr, 13.04.2008

Hi

Erstmal die Aufgabe: Es geht darum zu bestimmen, wie der regenwald wächst. Obwohl das von vielen Faktoren abhängig ist, hat man sich als Beispiel einfach mal die Abhängigkeit vom Niederschlag ausgesucht und dafür verschiedene Messwerte aufgeschrieben.
Deine Aufgabe ist jetzt diese Werte graphisch darzustellen und eine Gleichung aufzustellen, um andere Werte (zumindest Näherungen) berechnen zu können. Wie das geht, beschreibt die Aufgabe.

a)

Ein paar Werte in ein geeignetes Koordinatensystem einzuzeichnen, sollte kein Problem sein.

b)

Was und warum die das machen verteh ich zwar auch nicht, aber ich mach es einfach mal:

Ausgangsfunktion:

y = c \cdot \frac{x}{x + d}

setze

x \to \frac{1}{x}

und

y \to \frac{1}{y}

\to \frac{1}{y} = \frac{c \cdot \frac{1}{x}}{\frac{1}{x} + d}

y = \frac{\frac{1}{x} + d}{c \cdot \frac{1}{x}}

y = \frac{x \cdot (\frac{1}{x} + d)}{c}

y = \frac{1 + d \cdot x}{c} = \frac{1}{c} + \frac{d \cdot x}{c}

\Rightarrow y = \frac{d}{c} \cdot x + \frac{1}{c}

Vergleich mit der allgemeinen Geradengleichung

y = m \cdot x + b :

m = \frac{d}{c}; b = \frac{1}{c}

q . e . d

c)

Einfaches einsetzen:

z . B

. 1.Punkt:

x = 0,5; y = 0,78

\to \frac{1}{x} = \frac{1}{0,5}; \frac{1}{y} = \frac{1}{0,78}

\Rightarrow \frac{1}{0,78} = \frac{d}{c} \cdot \frac{1}{0,5} + \frac{1}{c}

Das machst du jetzt mmit allen Punkten und berechnest so die gesuchte gebrochen rationale Funktion.
Du wirst natürlcih bei jeder Gleichung andere Werte für

c

und

d

bekommen. Musst also am Ende einen Mittelwert bilden.
Begründung: Messwerte sind aufgrund von Messfehlern nie exakt. Und gerade bei einer solch komplexen Sache kann der Fehler durchaus auch über

5 %

liegen (zumindest, wenn das reale Werte sind)

Grüße

Bluedays1988 aktiv_icon

20:13 Uhr, 13.04.2008

Danke für die Antwort, aber immer noch habe ich Probleme mit der

b)

Teil...Wieso klammere ich ein? Und manchmal ist es unverständlich mit Kästchen und ob es eigentlich ein Bruch ist oder nicht...

MBler07 aktiv_icon

20:24 Uhr, 13.04.2008

Das liegt einfach daran, dass es keinen Textmodus mehr gibt, sondern ständig Sachen in mathematische Zeichen umgewandelt werden. Du brauchst dann den Internetexplorer (evtl. mit einer Erweiterung für mathematische Zeichen) oder Firefox, am besten auch mit erweiterung.
Ich hab mal zwei Screenshots gemacht. Der dritte zeigt wie ich das unter maeinem Standardbrowser Opera sehe...

Jetzt verständlich?

Bluedays1988 aktiv_icon

20:29 Uhr, 13.04.2008

Ja, jetzt habe ich verstanden...Nochmals vielen Dank..Wenn ich noch weitere fragen haben werde, könnte ich nochmal nachfragen oder

〉)

Bluedays1988 aktiv_icon

20:35 Uhr, 13.04.2008

Noch eine Frage..Wie lauten die Punkte

c

und d?

MBler07 aktiv_icon

20:42 Uhr, 13.04.2008

Hast du eigentlich die Aufgabe bzw meine Lösung verstanden?

c

und

d

sind keine Punkte, sondern Konstanten die in einer Gleichung stehen und über die man durch einsetzen eines Wertes

(z . B

x = 0,5)

eines Punktes sein Gegenstück

(y = 0,78)

berechnen können soll.
Die Aufgabe besteht genau darin

c

und

d

zu berechnen.
Diese ausrechnen mach ich heute aber nicht mehr.

Bluedays1988 aktiv_icon

20:43 Uhr, 13.04.2008

Ok hab verstanden..Danke nochmals..

Marmelade123 aktiv_icon

12:31 Uhr, 27.05.2016

Bin jetzt ein bisschen spät dran, aber vielleicht findet ja noch jemand Nutzen an der Lösung (Hinweis: Teilaufgabe

b)

ist eine verwirrende Formulierung)

Ich habe einfach bei der Funktion erst den Kehrbruch angewendet:

\frac{1}{y} = (X + d) \cdot

1/cx
Dann ausgeklammert:

\frac{1}{y} =

x/xc

+

d/cx
Dann zu einer Geradengleichung umgeformt:

\frac{1}{y} = \frac{d}{c} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{c} - \to

Übereinstimmend mit Angaben aus

b)

Werte

\frac{1}{x}

und

\frac{1}{y}

in Tabelle eingegeben ( GTR TI-82 Stats: STAT

- \to

Edit)
mit GTR Regressionsgerade bestimmt (STAT

- \to

CALC

- \to

LinReg(ax+b), dann eingeben:

(L 1, L 2)

Steigung abgelesen:

a = 0.5059; b = 0.2726

Wert

b = \frac{1}{c} - \to

umformen nach

c = 3,676

Wert

a = \frac{d}{c} - \to

umformen und einsetzen

d = 1,859

Ergebnis:

y = 3,676 \frac{x}{x + 1,859}

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