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Funktionsgleichung mit Buchstaben (Parameter?)

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Koeffizient, Parameter, Wendetangente, WEP

Eve1991 aktiv_icon

20:22 Uhr, 28.04.2009

Folgende Aufgabe sei gestellt:

Gegeben ist die Funktionsgleichung y=ax^3+bx^2+c. Bestimmen Sie die Koeffizienten

a, b

und

c

so, dass der Graph im Punkt

(3 I 3)

einen Wendepunkt hat und die Wendetangente die Winkelhalbierende des 1.Quadranten ist.

Könnt ihr mir die Vorgehensweise Step-by-Step erklären und dazu eine Musterlösung (ich weiß es ist viel verlangt, aber ich habe morgen Schulaufgabe und ich verzweifel...)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

magix aktiv_icon

20:26 Uhr, 28.04.2009

Keine Angst, das kriegen wir schon. du bist auch nicht die einzige, die damit ein Problem hat, ich habe das innerhalb der letzten mindestens einmal täglich jemandem erklärt.

magix aktiv_icon

20:34 Uhr, 28.04.2009

Erst einmal stellt man am besten zu der Funktionsgleichung die 1. und 2. Ableitung auf:
f(x)=ax³+bx²+c
f'(x)=3ax²+2bx
f"(x)=6ax+2b

Wendepunkt in

(\frac{3}{3})

bedeutet zwei Informationen:

1 .) (\frac{3}{3})

ist ein Punkt des Funktion

f (x) :

f(3)=a*3³+b3²+c=3

f (3) = 27 a + 9 b + c = 3

2.)Die zweite Ableitung an der Stelle

x = 3

ist null:
f"(3)=6a*3+2b=0
f"(3)=18a+2b=0

magix aktiv_icon

20:41 Uhr, 28.04.2009

Wenn die Wendetangente die Winkelhalbierende des 1. Quadranten ist, dann ist ihre Steigung an der Wendestelle

(x = 3)

gleich 1.
Steigungen gehören grundsätzlich zur 1. Ableitung. Deshalb:
f'(3)=3a*3²+2b*3=1

f' (3) = 27 a + 6 b = 1

Damit haben wir drei Gleichungen:

(I) : 27 a + 9 b + c = 3

(II):

18 a + 2 b = 0

(III):27a+6b=1

magix aktiv_icon

20:51 Uhr, 28.04.2009

Das ist ausreichend, um die drei Unbekannten eindeutig zu bestimmen.

(I) : 27 a + 9 b + c = 3

(II):

18 a + 2 b = 0 \Rightarrow b = - 9 a

einsetzen in (III)
(III):27a+6b=1

(III):27a+6*(-9a)=1

27 a - 54 a = 1

- 27 a = 1

a = - \frac{1}{27} \Rightarrow b = - 9 \cdot (- \frac{1}{27}) = \frac{1}{3}

(I) : 27 \cdot (- \frac{1}{27}) + 9 \cdot \frac{1}{3} + c = 3

- 1 + 3 + c = 3

c = 1

Damit heißt die gesuchte Funktion:

f(x)=-1/27x³+1/3x²+1

Eve1991 aktiv_icon

21:00 Uhr, 28.04.2009

Ja aber woher wissen wir, dass die Steigung an der Wendestelle gleich 1 ist?

munichbb

21:49 Uhr, 28.04.2009

Hi Eva-Maria,

"wenn die Wendetangente die Winkelhalbierende des 1.Quadranten ist."

Dann ist die Steigung immer 1 (Winkelhalbierende), 2.Quadrant

\to - 1;

Wegen Steigung

m = \frac{δ y}{δ x} \to x

und

y

haben die Gleichen Werte,

z . B

\frac{2}{2}

oder

\frac{5}{5} . .

= 1;

Zeichnung.

Gruß
munichbb

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