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Gebrochene Rationale Reihe auf Konvergenz prüfen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Konvergenz, reih, Summe

Strecki aktiv_icon

21:43 Uhr, 11.07.2023

Hallo, ich brauche Hilfe dabei die folgende Reihe auf Konvergenz zu überprüfen:

\frac{4 k^{5} + 3 k^{2} - 8}{3 k^{7} - 8 k^{4} + 7}

Davor steht natürlich Summe

k = 1

bis unendlich.

Vielleicht kann auch jemand einen Lösungsweg aufzeigen.

Ich danke vielmals :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

calc007

22:56 Uhr, 11.07.2023

Tipp: mit

k^{7}

kürzen...

rundblick aktiv_icon

10:40 Uhr, 12.07.2023

.

@ calc007 : niemand zweifelt wohl daran:

\sum_{k = 1}^{\infty} (a_{k})

konvergent

\Rightarrow (a_{k})

ist eine Nullfolge

aber :
bist du der Meinung, dass

\to

a_{k})

ist eine Nullfolge"
genügt, um festzustellen, dass dann

\sum_{k = 1}^{\infty} (a_{k})

konvergent ist ?

.

e60lukas

11:22 Uhr, 12.07.2023

Hallo,
versuche es doch mal mit dem Majorantenkriterium. Habe es nicht bis zum Schluss gerechnet, aber in der Reihe 2/k^2 als konvergente Majorante sähe ich eine Möglichkeit.

LG
EL

HJKweseleit aktiv_icon

02:40 Uhr, 14.07.2023

Ich geh mal schrittweise vor, mache den Zähler immer größer, denn Nenner immer kleiner (aber positiv):

\frac{4 k^{5} + 3 k^{2} - 8}{3 k^{7} - 8 k^{4} + 7} \leq \frac{4 k^{5} + 3 k^{2}}{3 k^{7} - 8 k^{4} + 7} \leq \frac{4 k^{5} + 3 k^{2}}{3 k^{7} - 8 k^{4}} \leq \frac{4 k^{5} + 3 k^{5}}{3 k^{7} - 8 k^{4}} = \frac{7 k^{5}}{2 k^{7} + k^{4} (k^{3} - 8)} \leq \frac{7 k^{5}}{2 k^{7}},

falls k>2, da der 2 Summand im Nenner dann positiv wird und dann durch Wegfallen den Nenner kleiner macht

...=

\frac{7}{2} \frac{1}{k^{2}}

\frac{1}{k^{2}}

konvergiert, tut dies auch die o.a. Reihe als Minorante.

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