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Gebrochenrationale Funktionen

Schüler

Tags: Gebrochen-rationale Funktionen, Nullstell

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21:53 Uhr, 14.09.2020

Hey , kann mir jemand bitte weiter helfen ich komme nicht auf das ergebnis, ich will nur die aufgabe

a .)

Danke im voraus.

Mit freundlichen Grüßen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

N8eule

22:21 Uhr, 14.09.2020

Hallo
Was hast du dir denn bisher überlegt?

Tipp:
Ein Bruch wird Null, wenn - was? - Null wird?

Wie weit kannst du den Zähler denn faktorisieren?
Also ein Faktor sollte dir ganz leicht ins Auge fallen...

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23:02 Uhr, 14.09.2020

Ein bruch wird null wenn der Nenner null wird.

ich habe versucht die

x

auszuklammern. aber ich komme nicht weiter weil ich ein parameter habe , ich weiss nicht wie ich es zu behandeln soll.

Mfg

N8eule

23:08 Uhr, 14.09.2020

"Ein bruch wird null wenn der Nenner null wird."
Ich hoffe ja, dass du eigentlich das Richtige sagen willst, es dir nur misslungen ist.
Das ändert aber nichts daran, dass deine Aussage wörtlich falsch ist.

Wo hat eine gebrochen rationale Funktion eigentlich ihre Polstellen?

N8eule

23:13 Uhr, 14.09.2020

"ich habe versucht die

x

auszuklammern"
In dieser Aussage wiederum steckt mehr Wahrheit, als du anscheinend ahnst.
Nimm diese Aussage doch mal so wörtlich, wie du geschrieben hast.
"x" auszuklammern ist eine gute Idee.
Wie oft eigentlich?

Respon

23:16 Uhr, 14.09.2020

"tilt"

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23:18 Uhr, 14.09.2020

ich hab

x^{3}

ausgeklammert

dann habe ich eine 3fache nullstelle, nun jetzt?

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23:18 Uhr, 14.09.2020

ich hab

x^{3}

ausgeklammert

dann habe ich eine 3fache nullstelle, nun jetzt?

N8eule

23:23 Uhr, 14.09.2020

Also:

Ein Bruch wird dort Null, wo der ZÄHLER Null wird.

Ein Bruch hat dort Polstellen, wo der NENNER Null wird.

Wie sieht dein Zähler denn aus, wenn du

x^{3}

ausgeklammert hast?

Ein Tipp, den dir wahrscheinlich schon viele Lehrer gegeben haben:
Versuch einfach mal triviale Werte für "x".
Vielleicht findest du ja per Zufall eine Nullstelle.
Ich wette, du hast gute Chancen...

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23:33 Uhr, 14.09.2020

"Versuch einfach mal triviale Werte für "x"."

soll ich zahlen für

x

einsetzen, sodass das Ergebnis null sein soll ? dann habe ich eine Nullstelle? Verstehe ich es richtig ?

Respon

23:52 Uhr, 14.09.2020

Was könnte denn mit einem "trivialen" Wert gemeint sein ?

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23:54 Uhr, 14.09.2020

Triviale werte würden sein wie

1,2, - 1, - 2

etc..

Respon

23:55 Uhr, 14.09.2020

Dann fange mit dem einfachsten Wert an, nämlich

. .

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23:58 Uhr, 14.09.2020

wenn ich

- 2

einsetze bekomme ich

a = \frac{4}{3}

raus .

Respon

00:01 Uhr, 15.09.2020

Für

x = - 2

bekommst du 0.
Hast du schon das Einfachste versucht, nämlich

x = 1

?

Was meinst du mit

a = \frac{4}{3}

? a ist doch ein Parameter und kann alle Werte

> 0

annehmen.

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00:03 Uhr, 15.09.2020

ja, das ergibt null also

x = 1 = 0

d . h

. das ich bei

x = 1

eine nullstelle habe richtig ?

Respon

00:05 Uhr, 15.09.2020

x = 1 = 0

" ???
Du meinst wohl für

x = 1

wird der Zähler 0.

Du musst genauer formulieren

: x = 1

ist eine Nullstelle des Zählerpolynoms.

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00:06 Uhr, 15.09.2020

sorry ja ich meine es so, dass der Zähler null wird

Respon

00:10 Uhr, 15.09.2020

Damit hast du schon 5 Werte, es fehlt nur noch einer.
Schau dir mal die auffallende Struktur des Zählerpolynoms an.

- a \cdot x^{5} + x^{6} - a \cdot x^{4} + x^{5} + 2 \cdot a \cdot x^{3} - 2 \cdot x^{4}

also

- a \cdot x^{5} + x^{6}

- a \cdot x^{4} + x^{5}

+ 2 \cdot a \cdot x^{3} - 2 \cdot x^{4}

Für welchen x-Wert könnten die Teilterme alle 0 werden ?

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00:10 Uhr, 15.09.2020

ich habe

- 2

für

x

eingesetzt dann kam ich auf das ergebnis

a = \frac{4}{3}

und a ist ein parameter der

> 0

ist, ich verstehe aber trotzdem nicht was das mir wenn ich

a = \frac{4}{3}

raus habe.

Respon

00:11 Uhr, 15.09.2020

Für

x = - 2

verschwindet das Zählerpolynom. Das hat mit a überhaupt nichts zu tun !

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00:14 Uhr, 15.09.2020

wenn ich für

x = 1

einsetze dann wird es

0,

wie vorhin als ich es gemacht habe.

Respon

00:17 Uhr, 15.09.2020

Fassen wir zusammen:
Für folgende Werte wird das Zählerpolynom

= 0

x = 0

( dreifach )

x = 1

x = - 2

. .

. und jetzt fehlt noch der 6. Wert. Hinweis weiter oben.

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00:19 Uhr, 15.09.2020

wenn ich

x = a

einsetze bekomme ich bei allen Teiltermen auch eine 0. also mein 6.wert ist a

Respon

00:21 Uhr, 15.09.2020

Das ist korrekt !
Man könnte das Zählerpolynom auch so schreiben:

x^{3} \cdot (x + 2) \cdot (x - 1) \cdot (x - a)

Und jetzt das Nennerpolynom...

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00:27 Uhr, 15.09.2020

ich habe bei dem Nennerpolynom

x = 1

ist 0 raus.

Respon

00:28 Uhr, 15.09.2020

Korrekt !
Schau dir wieder die Struktur an.

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00:30 Uhr, 15.09.2020

dann sieht es wie folgt aus

: \frac{x^{3} \cdot (x + 2) \cdot (x - 1) \cdot (x - a)}{(x - 1)}

Respon

00:32 Uhr, 15.09.2020

Nein !
Das Nennerpolynom hat Grad

3!

Zwei Werte fehlen noch.

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00:33 Uhr, 15.09.2020

okey ich mach mich auf die suche

Respon

00:34 Uhr, 15.09.2020

Man will es dir nicht schwer machen. Orientier dich am Vorgang des Zählerpolynoms !

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00:41 Uhr, 15.09.2020

ich habe jetzt den 2.wert der ist

x = a

aber ich komme nicht auf den dritten.

Respon

00:42 Uhr, 15.09.2020

Versuchs mit

x = - 1

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00:45 Uhr, 15.09.2020

ok danke, also wie folgt :

\frac{x^{3} \cdot (x + 2) (x - 1) (x - a)}{(x - 1) (x - a) (x + 1)}

Respon

00:46 Uhr, 15.09.2020

" 2 " fehlt.

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00:47 Uhr, 15.09.2020

wo fehlt die "2" ?

Respon

00:49 Uhr, 15.09.2020

- 2 \cdot a \cdot x^{2} + 2 \cdot x^{3} + 2 \cdot a - 2 \cdot x = 2 \cdot (- a \cdot x^{2} + x^{3} + a - x) = 2 \cdot (. .

) \cdot (. .

) \cdot (. .

. )

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00:55 Uhr, 15.09.2020

\frac{x \cdot^{3} (x + 2) (x - 1) (x - a)}{2 \cdot (x - 1) (x - a) (x + 1)}

völlig vergessen ok danke , wie erkenne ich jetzt meine Nullstellen ?

kann ich die einfach ablesen im Zähler ? und die Werte im Nennerpolynom sind dann meine Poll-stellen ?

Respon

00:59 Uhr, 15.09.2020

Wir haben also folgende Funktion:

f (x) = \frac{x^{3} \cdot (x + 2) \cdot (x - 1) \cdot (x - a)}{2 \cdot (x - 1) \cdot (x + 1) \cdot (x - a)}

Beachte, dass für

x = 1, x = - 1

und

x = a

der Nenner den Wert 0 annimmt und die Funktion an der Stelle NICHT definiert ist.
Und jetzt wende dein "Basiswissen" an und beantworte die Fragen nach Nullstellen, Polstellen und hebbaren Lücken.

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01:08 Uhr, 15.09.2020

ich würde es einfach ablesen wäre es falsch wenn ich sage meine nullstellen sind

x = - 2

x = 1

und

x = a

Respon

01:10 Uhr, 15.09.2020

Wie kann

x = 1

und

x = a

eine Nullstelle unserer Funktion sein, wenn sie an der Stelle gar nicht definiert ist ?

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01:12 Uhr, 15.09.2020

Achsooo ich verstehe jetzt, also wenn ich im Nennerpolynom die gleichen Werte habe wie im Zählerpolynom, kann es garnicht sein das es Nullstellen sind weil sie undefiniert sind. Deswegen sind meine Nullstellen wie folgt

: x = - 2

und

x = 0

(dreifach) .

Respon

01:13 Uhr, 15.09.2020

Ja !
Und weiter

. .

. ( Polstellen, hebbare Lücke )

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01:17 Uhr, 15.09.2020

Also polstelle ist ja so, dass mein Nennerpolynom nicht 0 sein darf und wenn ich den Wert

= - 1

einsetze wird mein nenner bei

(x + 1)

null da:

(- 1 + 1 = 0)

ist , liege ich richtig ?

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01:19 Uhr, 15.09.2020

Meine Definitionslücken wären dann bei

[1; - 1; a]

oder ?

Respon

01:20 Uhr, 15.09.2020

Etwas chaotisch ausgedrückt.
Einen Polstelle liegt vor ( zumindest meistens

),

wenn der Nenner 0 wird aber der Zähler

\neq 0

x = - 1

ist also eine Polstelle. Gibts noch eine ?

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01:23 Uhr, 15.09.2020

Nein ich glaube es gibt keine andere Polstelle außer die

x = - 1

Respon

01:23 Uhr, 15.09.2020

Kannst du das auch beweisen ?

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01:26 Uhr, 15.09.2020

ich habe die trivialen Werte eingesetzt und geschaut bzw. versucht dass nenner null wird und Zähler ungleich

0,

also ich kann es nicht zeichnerisch beweisen falls sie das meinen.

Respon

01:29 Uhr, 15.09.2020

Du brauchst doch nur ausrechen.

Für

x = 1

wird der Nenner 0. Welchen Wert nimmt für

x = 1

der Zähler an ?

Für

x = a

wird der Nenner 0. Welchen Wert nimmt für

x = a

der Zähler an ?

Sind die Vorausetzungen für eine Polstelle gegeben oder nicht ?

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01:37 Uhr, 15.09.2020

mit den werten

x = 1

habe ich sowohl im Nenner und im Zähler eine

0,

bei dem Wert

x = a

habe ich auch im nenner auch im Zähler 0 raus.

Außerdem habe ich im Nennerpolynom 2 gleiche Nullstellen wie im Zählerpolynom

(x - 1)

und

(x - a),

dass sind dann meine stetig hebbare Definitionslücken.

Respon

01:38 Uhr, 15.09.2020

So ist es !

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01:41 Uhr, 15.09.2020

Das war die ganze Aufgabe ?

Ich fasse es mal kurz zusammen:

Nullstellen:

x = 0

(dreifach);

x = - 2

Polstellen:

x = - 1

hebbare Definitionslücken:

x = 1 x = a

Richtig?

Respon

01:42 Uhr, 15.09.2020

So ist es !

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01:44 Uhr, 15.09.2020

Ich liebe Sie &hearts;
Danke für alles wirklich hat mir sehr geholfen kam ganze zeit nicht weiter , weil ich nicht wusste wie ich mit dem Parameter umgehen soll, der hat mich verwirrt.

Ich wünsche ihnen noch eine angenehme Nacht &hearts;

Mit freundlichen Grüßen
Ali

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01:45 Uhr, 15.09.2020

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01:49 Uhr, 15.09.2020

Könnte ich sie noch um eine Frage bitten ?
Die wäre die aufgabe

d

und

e

können sie mir dabei helfen ?

N8eule

07:38 Uhr, 15.09.2020

Darf ich nochmals übersichtlich vor Augen führen:

f (x) = \frac{x^{3} \cdot (x + 2)}{2 \cdot (x + 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{x - a}{x - a}

Was würdest du vorschlagen, weg-zu-heben?

zu

e)

müsstest du erklären oder einen lesbaren Scan-Bildausschnitt anbieten, wie die Aufgabe wirklich lautet und endet.
Ich will ahnen, dass die Asymptote für

x \to \pm

Unendlich gemeint ist.
Dazu empfiehlt sich, dass du eine Polynomdivision durchführst, bis der Zähler-Grad kleiner als der Nenner-Grad ist.

Zeig mal, wie weit du kommst...
:-)

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17:17 Uhr, 15.09.2020

Hey,

ist mit gehobene Funktion die Funktion gemeint die sie oben geschrieben haben ?

Die

x - 1

und die

x - a

streichen sich ja weg. Ich habe dann die Funktion:

\frac{x^{3} \cdot (x + 2)}{2 \cdot (x + 1)}

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17:50 Uhr, 15.09.2020

Folgendes habe ich raus, bin ich auf den richtigen Weg ?

N8eule

17:52 Uhr, 15.09.2020

Du solltest erkennen und verstehen:

f (x) = \frac{x^{3} \cdot (x + 2)}{2 \cdot (x + 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{x - a}{x - a}

ist die Funktion so wie sie gegeben war. Wir haben zwar ein wenig umgeformt, faktorisiert und hübsch geordnet. Nichts desto trotz, das ist die Funktion so wie sie ursprünglich gegeben war, mit allen Nullstellen, Polstellen, Definitionslücken.

Jetzt könnte man auf die Idee kommen, zu kürzen,

d . h

. die hebbaren Lücken eben zu beheben - durch Kürzen:

f_geh (x)

= \frac{x^{3} \cdot (x + 2)}{2 \cdot (x + 1)} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{x^{3} \cdot (x + 2)}{2 \cdot (x + 1)}

Diese Funktion hat zwar noch die selben Funktionsverläufe, Polstellen, Nullstellen
- ABER -
hat sie noch die selben Definitionslücken ?!?
Nein!
Und genau deshalb solltest du dir und deinen Lesern auch den Unterschied zwischen der original-Funktion und gehobener Funktion kenntlich machen,

z . B

. durch

f (x) = ... ... .

. für die Original-Funktion,
f_geh (x)

= ... . .

. für die gehobene Funktion.

PS:
"Ich habe dann die Funktion: ..."
Was du hinschreibst, ist ein Ausdruck.
Eine Funktion wird draus, indem du hinschreibst:

f (x) = \frac{x^{3} \cdot (x + 2)}{2 \cdot (x + 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{x - a}{x - a}

f_geh (x)

= \frac{x^{3} \cdot (x + 2)}{2 \cdot (x + 1)}

Was die paar Buchstaben "f(x)=" doch gleich für einen Unterschied machen.

Das ist ähnlich wie der Unterschied zwischen
"mein Auto"
und
"Mein Auto ist rot".

Das erstere ist ein Ausdruck, und jeder wird fragen "hää..?",
das zweitere ist ein Satz, und jeder kann ihn vernünftig verstehen.

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18:26 Uhr, 15.09.2020

Okey danke für den Tipp.

Ich habe jetzt Polynomdivision mit meinen gehobenen Funktion durchgeführt und bin auf das Ergebnis gekommen.