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Gebrochenrationale Funktionen bestimmen

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Gebrochen-rationale Funktionen

 
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2ndhandlove

2ndhandlove aktiv_icon

18:53 Uhr, 14.09.2009

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Hey! Ich bräuchte mal eure Hilfe bei folgender Aufgabe...


Geben Sie eine gebrochenrationale Funktion mit folgenden Eigenschaften an.


und Polstelle ist Nullstellen sind und .

Also das mit dem Grenzwert sagt ja aus, dass die Fkt eine waagerechte Asympote mit der Gleichung hat.
Durch die Polstelle kann man die senkrechte Asymptote ermitteln, das wäre dann . Außerdem weiß man, dass das Nennerpolynom 0 bei ergibt.
Und die Nullstellen... Da muss halt das Zählerpolynom 0 bei und geben.

So weit hab' ich das verstanden, aber irgendwie bekomm ich trotzdem keine richtige Lösung! Weil die beiden Nullstellen ja VOR der senkrechten Asymptote kommen. Bin mir auch nicht sicher, ob es einen Vorzeichenwechsel gibt oder nicht...

Meine Ansatz wäre gewesen:
Aber wenn ich den Graphen zeichnen lasse, stimmt das nicht.



besitzt die einzige Nulstelle 1 und hat die Geraden und als Asymptoten.

Da hab ich das raus:
Stimmt das?



besitzt keine Polstelle; ihre Wertemenge ist .

Da hab' ich irgendwie nicht so richtig Ahnung. Keine Polstelle bedeutet ja, dass im Nenner . steht. Aber wie baue ich das mit der Wertemenge ein?



Ich wäre für eure Hilfe sehr dankbar! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
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Sina86

Sina86

18:59 Uhr, 14.09.2009

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Hi,

zunächst mal zur ersten Frage:

deine Überlegungen sind richtig, du hast dich aber verrechnet... Im Nenner sollte das Polynom (3. bin Formel) stehen, tuts aber nicht ;-)

Außerdem hast du ein Problem, wenn du ein +1 hinzuaddierst, denn dann hat die Funktion überall, wo das Zählerpolynom Null ist, den Funktionswert +1. Das musst du also entfernen. Die Asymptote legst du über die Koeffizienten vor der größten Potenz fest...

Lieben Gruß
Sina
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Sina86

Sina86

19:04 Uhr, 14.09.2009

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zu b)
eigentlich derselbe Fehler mit der Asymptote, und guck die mal an, wo dein Bruch =0 wird...

zu c)
das Polynom besitzt keine Nullstelle im Nenner (wie du bereits richtig erkannt hast) und nimmt irgendwo die Werte 0 bis 2 an. D.h. also die Asymptote (die nur waagerecht sein darf) muss irgendwo dazwischen liegen (z.B. bei 1). Ansosnten würde ich empfehlen irgendwie eine Funktion zu basteln, bei der ein Tiefpunkt den y-Wert 0 und ein Hochpunkt den y-Wert 1 hat....

2ndhandlove

2ndhandlove aktiv_icon

19:51 Uhr, 14.09.2009

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Erstmal dankeschön!

Stimmt, ich hab' ganz vergessen, dass man die waagerechte Asymptote auch über die Koeffizienten bestimmen kann, wenn Zähler- = Nennergrad ist.

Bei kommt bei mir dann raus.

Bei hab' ich

Und bei hab' ich leider immmernoch meine Probleme. Das mit der Wertemenge bedeutet also, dass die Funktion nur die Werte 2 und 0 annehmen darf? Dann wären das doch einfach zwei Geraden, die parallel zur x-Achse sind... Ich glaub, ich versteh da was falsch.
Antwort
Sina86

Sina86

20:20 Uhr, 14.09.2009

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Bei der ersten Aufgabe:

Naja, jetzt hast du aber zwei Nullstellen im Nenner, 2 und -2... Da musst du noch mal nachbessern (2. binomische Formel!)

Antwort
Sina86

Sina86

20:24 Uhr, 14.09.2009

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b) sieht auch gut aus...
Antwort
Sina86

Sina86

20:35 Uhr, 14.09.2009

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zu c)

[0,2] bezeichnet ein Intervall (das abgeschlossene Intervall zwischen 0 und 2), d.h. gemeint sind alle Werte zwischen 0 und 2 einschließlich der Grenzen.

Eine Funktion kann nicht aus zwei Geraden bestehen, da eine Funktion jedem x-Wert nur einen Funktionswert zuordnen kann.
Antwort
michael777

michael777 aktiv_icon

21:10 Uhr, 14.09.2009

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zu

x²+1 als Nenner ergibt keine Polstelle, das stimmt

jetzt muss der Rest nur noch so gewählt werden, dass die Funktion (also die Y-Werte) zwischen 0 und 2 verlaufen. Beispielsweise die x-Achse als Asymptote und 2 als Maximalwert
damit die X-Achse Asymptote ist, muss der Zählergrad kleiner als der Nennergrad sein
wie wärs mit 2/(x²+1) ?
diese Funktion hat keine Polstelle und die x-Achse als Asymptote, das Maximum ist
somit ist die Wertemenge das Intervall die 0 wird nicht erreicht, deshalb die offene Intervallgrenze
Antwort
michael777

michael777 aktiv_icon

21:17 Uhr, 14.09.2009

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eine Funktion die als Wertemenge hat, wobei die 0 erreicht wird, ist . folgende:

4x²/(x^4+1)

auch hier wird der Nenner nie null, daher keine Polstelle
Zählergrad Nennergrad somit ist die x-Achse Asymptote