Gebrochenrationale Funktionen - Verhalten

Hallo!

Ich muss am Montag die Hausaufgaben vorstellen, weiß aber nicht wie ich meine Ergebnisse herleiten soll.

Aufgabe war, die folgenden Schaubilder zu zeichnen. Könnt ihr mir sagen, wie ich meinen Mitschülern erklären könnte, warum die ersten beiden Funktionen eine hebbare Definitionslücke haben, die anderen beiden sich aber jeweils einem bestimmten Wert annähern?

Die Funktionsgleichungen waren:

1. f(x)=${\displaystyle \frac{\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2}}$ →hebbare Definitionslücke

2. f(x)=${\displaystyle \frac{\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-6\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+9}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-3}}$ →hebbare Definitionslücke

3. f(x)=${\displaystyle \frac{3\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-4}}$ →Annäherung an x=2

4. f(x)=${\displaystyle \frac{2\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1}}$ →Annäherung an x=0,5

Hi,

mal zur ersten Funktion:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2}}$

Definitionsbereich: ${\displaystyle \mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\setminus \{-2\}}$

eine hebbare Lücke zu zeigen geht am besten, wenn man die Funktion verändert;

${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{*}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2}=\frac{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2)}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2}}$

jetzt kann der Nenner gekürzt werden es entsteht:

${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{*}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

ist der Nenner herauskürzbar, dann liegt an an der Stelle für x, die damit herausgekürzt wurde, eine hebbare Lücke vor.

Über die *-Funktion kann dann der (eigentliche) y-Wert an dieser Stelle berechnet werden:

${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{*}(-2)=-2}$

Die hebbare Lücke liegt somit bei P(-2/-2)

Gruß pantau

Vielen Dank! Diesen Teil habe ich jetzt schon einmal verstanden.

Die beiden anderen Funktionen nähern sich ja einem bestimmten Funktionswert an. Begründe ich das dann so, dass man eben den Nenner nicht rauskürzen kann? Oder gibt es da noch eine andere Möglichkeit?

Viele Grüße kadiii

So kann man es bei den letzten beiden Funktionen begründen.

Im Grunde handelt es sich bei allen Aufgaben um Grenzwertbetrachtungen.

Ich weiß jetzt nicht, wie genau ihr darauf schon eingegangen seid.

Hab ihr die Grenzwerte noch nicht sehr ausführlich betrachtet, dann kann man

auf jeden Fall so begründen, wie oben genannt.

pantau

Wir haben die Grenzwertbetrachtung noch nicht SO ausführlich gemacht. Nur eben ein bisschen die Asymptoten von gebrochenrationalen Funktionen ohne Definitionslücke.

Viele Dank nochmal! Die Erklärung wird bestimmt ausreichen!