Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Gemeinsame Punkte von eFunktionen

Gemeinsame Punkte von eFunktionen

Schüler

Tags: e-Funktion, Funktionsschar

Joshua2 aktiv_icon

15:36 Uhr, 02.04.2019

Gesucht sind die gemeinsamen Punkte einer Funktionsschar mit der Gleichung.

fa(x) = (2ax - 2)*e^(ax)

Ergebnis ist der Punkt

(0; - 2)

was man der Funktion ansehen kann, aber wie kommt man rechnerisch außer durch einsetzen von 0 da drauf?

1.Versuch

(2ax - 2)*e^(ax)= (2bx - 2)*e^(bx)
e^(ax):e^(bx)= (2bx - 2):(2ax

- 2)

e^(ax - bx) = (2bx - 2):(2ax

- 2)

(ax - bx)

= ln

((2bx - 2):(2ax

- 2))

x (a - b) =

ln((2bx - 2):(2ax

- 2))

x =

[

(2bx - 2):(2ax

- 2)] : [(a - b)]

2. Versuch

(2ax - 2)*e^(ax)= (2bx - 2)*e^(bx)
(2ax - 2)*(ax) = (2bx - 2)*(bx) Umforumung dürfte nicht erlaubt sein
2a²x² - 2ax - 2b²x²

+

2bx

= 0

x(2a²x

- 2 a -

2b²x

+ 2 b) = 0

x = 0

(richtiges Ergebnis)

2a²x

- 2 a -

2b²x

+ 2 b = 0

2a²x - 2b²x

= 2 a - 2 b

a²x - b²x

= a - b

x(a²-b²)=(a-b)

x = a + b

(falsches Ergebnis)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

e-Funktion

abakus

17:03 Uhr, 02.04.2019

Unabhängig vom Sinn deiner übrigen Bemühungen: Aus x(a²-b²)=(a-b) folgt nicht x=a+b, sondern x=1/(a+b).

Joshua2 aktiv_icon

17:16 Uhr, 02.04.2019

Ist leider aber auch nicht richtig

Atlantik aktiv_icon

18:06 Uhr, 02.04.2019

f_{a} (x) = (2 a x - 2) \cdot e^{a x}

Nullstellen:

e^{a x}

kann nicht 0 werden

x = \frac{1}{a} \to

variable Nullstelle

Schnitt mit y-Achse:

f_{a} (0) = (2 a \cdot 0 - 2) \cdot e^{a \cdot 0} = - 2

ist ein fester Punkt

Extrema:

[(2 a x - 2) \cdot e^{a x}]

= 2 a \cdot e^{a x} + (2 a x - 2) \cdot a \cdot e^{a x} = e^{a x} \cdot (2 a + 2 a^{2} \cdot x - 2 a) = e^{a x} \cdot 2 a^{2} \cdot x

2 a^{2} \cdot x = 0

x = 0 \to f_{a} (0) = (2 a \cdot 0 - 2) \cdot e^{a \cdot 0} = - 2

Art des Extremum:

[e^{a x} \cdot 2 a^{2} \cdot x]

´=

a \cdot e^{a x} \cdot 2 a^{2} \cdot x + e^{a x} \cdot 2 a^{2} = e^{a x} \cdot (2 a^{3} \cdot x + 2 a^{2})

f´´

(0) = 2 a^{2} > 0 \to

Minimum(

Dieses Minimum ist nun ein fester Punkt der Kurvenschar

f_{a} (x)

Wendepunkt:

e^{a x} \cdot (2 a^{3} \cdot x + 2 a^{2}) = 0

2 a^{3} \cdot x + 2 a^{2} = 0 |

2 a^{3} \cdot x = - 2 a^{2} |

x = - a

Dieser ist durch variables a kein fester Punkt.

Wie man nun weitere feste Punkte bestimmen kann, entzieht sich meinem Wissen.

mfG

Atlantik

abakus

19:22 Uhr, 02.04.2019

Wenn alle Funktionen der Schar gemeinsame Punkte haben sollen, dann haben auch zwei beliebig ausgewählte Funktionen dieser Schar diese gemeinsamen Punkte.
Es genügt also, zwei Funktionen dieser Schar (z.B. für a=0 und a=1) auszuwählen und deren Schnittpunkte zu bestimmen.
Danach kannst du eine Probe machen, ob die gefundenen Schnittpunkte allen Graphen der Schar angehören.

Joshua2 aktiv_icon

22:02 Uhr, 02.04.2019

Danke soweit. Wenn man 0 einsetzt, sollte man merken, dass a wegfällt und es sich daher um einen Punkt aller Funktionen der Schar handeln muss

(2 \cdot a \cdot 0 - 2) \cdot e^{a \cdot 0} = (0 - 2) \cdot 1 = - 2

Wenn man 0 und 1 einsetzt und die Funktionen gleichsetzt kommt man wohl leider nicht weiter

(2 x - 2) \cdot e^{x} = - 2

e^{x} = - \frac{2}{2 x - 2}

x = ln (- \frac{1}{x - 1})

willyengland aktiv_icon

09:18 Uhr, 03.04.2019

Du musst den kompletten Punkt einsetzen

(0, - 2) :

(2*1*0-2)*EXP(1*0)

= - 2

Die Gleichung stimmt.

Nun allgemein:
(2*a*0-2)*EXP(a*0)

= - 2

Die Gleichung stimmt auch. Also ist es ein gemeinsamer Punkt.

Joshua2 aktiv_icon

21:00 Uhr, 03.04.2019

Ja, sicher richtig, aber dafür muss man ja bereits 0 als potentiel gemeinsame Stelle erkannt haben und die Frage war ja, wie man das ohne einsetzen lösen kann.

HAL9000

22:30 Uhr, 03.04.2019

Die Frage ist doch, ob die Gleichung

(2 x - 2) e^{x} = - 2

noch eine weitere Lösung als

x = 0

hat oder nicht.

Zu diesem Zweck kann man die Funktion

g (x) = (2 x - 2) e^{x}

betrachten: Deren Ableitung ist

g ʹ (x) = 2 x e^{x}

, das bedeutet

g ʹ (x) < 0

für alle

x < 0

und

g ʹ (x) > 0

für alle

x > 0

. Damit ist

x = 0

(einzige) globale Minimumstelle der Funktion

g

, es folgt

g (x) > g (0) = - 2

für alle

x \neq 0

. Somit gibt es KEINE Zahl

x \neq 0

mit

(2 x - 2) e^{x} = - 2

Joshua2 aktiv_icon

23:18 Uhr, 03.04.2019

Geht das auc für (2ax-2)*e^(ax) = (2bx-2)*e^(bx)?

HAL9000

08:20 Uhr, 04.04.2019

Lies nochmal den Beitrag von abakus.

Joshua2 aktiv_icon

08:40 Uhr, 04.04.2019

Ist sicher ein mögliches Vorgehen 0 und 1 frür den Scharparameter einzusetzen und Schnittpunkte auszurechnen und zu prüfen, ob diese Schnittpunkte für alle Funktionen der Schar im Definitionsberreich Schnittpunkte sind. Es war aber der Definitionsbereich a Elemet

R

ungleich 0 angegeben. Dann kommt man so eigentlich nicht weiter. Da gefragt war, die Schnittpunkte rechnerisch nachzuweisen, kann man das wohl nur durch einsetzen des Funktionswerts 0 lösen.

HAL9000

09:44 Uhr, 04.04.2019

> Dann kommt man so eigentlich nicht weiter

Doch, genau damit kommt man weiter: Wenn man gemeinsame Punkte sucht, die auf ALLEN Graphen der Funktionsschar liegen, dann kann man speziell die Punkte bestimmen, die gemeinsam auf

f_{0}

und

f_{1}

liegen und dann prüfen, ob diese gemeinsamen Punkte auch auf den anderen

f_{a}

-Graphen liegen.

Im vorliegenden Fall ist

(0, - 2)

nachgewiesenermaßen der einzige Punkt, der zugleich auf

f_{0}

und

f_{1}

liegt, und man überzeugt sich schnell, dass der auch auf den anderen

f_{a}

liegt - das wars.

Was du hier anscheinend untersuchen willst, ist eine andere Fragestellung, nämlich: Schneiden sich irgendwelche

f_{a}

und

f_{b}

noch in anderen Punkten als

(0, - 2)

? Falls es die gibt, dann sind das nach obigen Überlegungen auf jeden Fall Punkte, die nicht auf allen

f_{c}

liegen, nämlich schon mal nicht auf

f_{0}

.

Nun gut, betrachten wir auch das, auch wenn es m.E. über die obige Aufgabenstellung hinausgeht: Solche Punkte gibt es, auch wenn man sie zu gegebenen

a, b

schwer konkret ausrechnen kann.

Es ist

f_{a} (x) = g (a x)

mit der von mir oben definierten Funktion

g (x) = (2 x - 2) e^{x}

, und meinen Überlegungen von oben kann man ja auch entnehmen, dass

g

nicht injektiv ist: Es gilt

lim_{x \to - \infty} g (x) = 0

, die Funktion ist zunächst streng monoton fallend bis hin zu

g (0) = - 2

, und anschließend streng monoton wachsend mit

lim_{x \to \infty} g (x) = \infty

.

Das bedeutet, es gibt zu jedem Wert

y \in (- 2, 0)

genau zwei Argumente

x_{1}, x_{2}

mit

x_{1} < 0 < x_{2}

und

g (x_{1}) = g (x_{2}) = y

. Damit kann man sich jetzt zu einem beliebigen

x \neq 0

die Parameter

a := \frac{x_{1}}{x}

und

b := \frac{x_{2}}{x}

zurechtschnitzen und haben einen solchen Schnittpunkt

f_{a} (x) = f_{b} (x) = y

. Nochmal rekapituliert: Zu JEDEM

x \neq 0

und JEDEM

- 2 < y < 0

findet man unterschiedliche Parameter

a, b

, so dass

(x, y)

gemeinsamer Punkt von

f_{a}

und

f_{b}

ist.

Wer genau aufgepasst hat sieht aber, dass diese

a, b

stets verschiedene Vorzeichen haben. Nun, du hast dich nicht zum Parameterbereich bei dieser Aufgabe geäußert, aber falls der dann etwa doch auf

a \geq 0

eingeschränkt ist, dann gibt es diese Punkte nicht.

Joshua2 aktiv_icon

11:25 Uhr, 04.04.2019

>

Nun, du hast dich nicht zum Parameterbereich bei dieser Aufgabe geäußert

Im Beitrag zuvor hatte ich geschrieben, Definitionsbereich ist a Elemet

R

ungleich 0
Insofern stellte ich die Lösung, für a Null und Eins einzusetzen in Frage.

HAL9000

12:15 Uhr, 04.04.2019

> Insofern stellte ich die Lösung [...] in Frage.

Die Wahl der Vergangenheitsform deute ich mal so, dass jetzt alles geklärt ist. Da wundert mich nur, dass noch ein Fragezeichen an deinem Beitrag heftet.

Joshua2 aktiv_icon

10:09 Uhr, 07.04.2019

Deine Lösung beruhte ja auch darauf, für a Null und Eins einzusetzen. Das führt wohl grundsätzlich ans Ziel, ist nur halt nicht im Definitionsbereich. Man kann ja dann aber durch einsetzen einfach nachweisen, dass es sich bei dem Punkt

(0; - 2)

um einen gemeinsamen Punkt aller Funktionen handeln muss. Ob es keine weiteren gemeinsamen Punkte gibt, kann man so wohl nicht nachweisen. Grundsätzlich kann man das ja auch per GTR lösen, also den Punkt finden und dann einsetzen. Sollte der Aufgabenstellung, die Sache "rechnerisch" zu lösen, wohl auch genügen.

Allerdings heißt es expliziert in der Aufgabenstellung „Bestimmen Sie rechnerisch alle gemeinsamen Punkte der Funktionsschar“.

Ich gehe mal davon aus, dqass es hier nur den rechnerischen Ansatz braucht, und man die Lösung dem GTR überlassen kann, wobei man dann ja noch mal durch einsetzen nachweisen kann, dass der Punkt

(0; - 2)

ein geimsamer Punkt aller Funktionen der Schar seien muss.

Respon

10:47 Uhr, 07.04.2019

Angenommen, es gäbe noch einen weiteren Punkt

P (x_{1} | y_{1})

mit

x_{1} \neq 0

und

y_{1} \neq - 2,

so müsste FÜR ALLE

a, b

gelten

(2 \cdot a \cdot x_{1} - 2) \cdot e^{a \cdot x_{1}} = (2 \cdot b \cdot x_{1} - 2) \cdot e^{b \cdot x_{1}}

Du kannst aber leicht

a, b

finden, so daß die Gleichung nicht erfüllt ist.

Joshua2 aktiv_icon

20:50 Uhr, 07.04.2019

Also nimmt man

z . B

. fa(x) = ax²

- a

Dann gilt ja
ax²-a = bx²

- b

ax²-bx²

= a - b

x = + 1

und

- 1

y = 0

Die Funktionsschar hat in den Punkten

(- 1; 0)

und

(1; 0)

gemeinsame Punkte.

Jetzt könnte man natürlich auch für andere

x

Werte zeigen, dass es keinen Schnittpunkt gibt, nur beweist das ja noch gar nichts, wenn

z . B

x = 2

gewählt wird.

4 a - 4 b = a - b

0 = 1

Beweisen ist damit nur, dass bei 2 kein Schnittpunkt liegt. Das kann man jetzt nicht für alle möglichen Punkte durchgehen. Ein Schnittpunkt könnte ja auch bei

1034623

liegen oder bei

0,0342759

Respon

20:54 Uhr, 07.04.2019

Lies nochmals

10 : 47

durch.

abakus

21:27 Uhr, 07.04.2019

"(Die) Lösung beruhte ja auch darauf, für a Null und Eins einzusetzen."
Nur bedingt.
In der anfangs hier eingestellte Aufgabe hattest du die Einschränkung für a nicht erwähnt.
Hättest du von Beginn an geschrieben, dass a nicht 0 sein darf, dann hätte ich nicht das Einsetzen von 0 und 1, sondern z.B. das Einsetzen von 1 und 2 empfohlen.
Der Grundgedanke (statt aller Parameter nur zwei konkrete Parameter zu verwenden) bleibt.

HAL9000

12:24 Uhr, 08.04.2019

Wenn wir gedanklich trotzdem

a = 0

mit zu den erlaubten Parametern nehmen, dann bewirkt die Stetigkeit der Abbildung

a \mapsto f_{a} (x)

für jedes feste

x

letzendlich doch, dass die obige Argumentation mit

a = 0

(dann indirekt via

a \to 0

) und

a = 1

legitim ist.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1465357

1464709

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?