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Gleichungssystem lösen

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Funktionalanalysis

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angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Funktion, Funktionalanalysis

Mond13 aktiv_icon

17:20 Uhr, 26.09.2018

Hallo zusammen,

ich benötige Hilfe beim lösen des folgenden Gleichungsystems:

4 x (x^{2} + y^{2} - 2) = 4 y (x^{2} + y^{2} + 2)

Am Schluss sollte ich Punkte der Form

P (x; y)

rausbekommen.

Würde mich sehr über eure Mithilfe freuen! ;-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

pwmeyer aktiv_icon

17:28 Uhr, 26.09.2018

Hallo,

ehe sich jemand den Kopf zerbricht: Du sprichst von Gleichungssystem gibst aber nur eine Gleichung an?

Gruß pwm

Mond13 aktiv_icon

17:31 Uhr, 26.09.2018

Oh, stimmt!

Ich meine natürlich:

1. Gleichung:

{f'}_{x} (x, y) = 4 x (x^{2} + y^{2} - 2)

2. Gleichung:

{f'}_{y} (x, y) = 4 y (x^{2} + y^{2} + 2)

Bzw. soll ich sie gleich 0 setzten und dann lösen.
;-)

pwmeyer aktiv_icon

17:39 Uhr, 26.09.2018

Schlüssel für die Lösung ist die Frage: Wann ist ein Pordukt

a \cdot b

aus reellen Zahlen gleich 0? Der Antwort entsprechend sind Fallunterscheidungen durchzuführen.

rundblick aktiv_icon

18:21 Uhr, 26.09.2018

.
1. Gleichung:

{f'}_{x} (x, y) = 4 x (x^{2} + y^{2} - 2)

2. Gleichung:

{f'}_{y} (x, y) = 4 y (x^{2} + y^{2} + 2)

... .

. "soll ich sie .. gleich 0 setzten .. und dann lösen."

\to

da steht also nichts davon , dass du sie "gleichsetzt"..
sondern:
löse das System

\to

1)

\to 4 x (x^{2} + y^{2} - 2) = 0

2)

\to 4 y (x^{2} + y^{2} + 2) = 0

Tipp: beginne mit einer Überlegung für die zweite Gleichung ..

dann findest du doch sofort die drei gesuchten Lösungspunkte

P (x, y)

des Systems ..
- oder ?

also

\to . .

.

nebenbei: wann gedenkt der Mond wieder aufzugehen?
.

Mond13 aktiv_icon

08:55 Uhr, 27.09.2018

Ok ;-)

Also wenn ich jetzt Gleichung

2)

nach

y

umstelle, so erhalte ich:

y_{1} = 0

y_{2} = + \sqrt{x^{2} + 2}

y_{3} = - \sqrt{x^{2} + 2}

Aber wenn ich jetzt

z . B

y_{1}

in Gleichung

1)

einsetze um meinen zugehörigen x-Wert zu bekommen, dann erhalte ich ja wieder 3 verschiedene x-Werte.

D . h

. ich hätte insgesammt 3 y-Werte und 9 x-Werte. Wo liegt denn da der Fehler?

ermanus aktiv_icon

09:02 Uhr, 27.09.2018

Hallo,
wie rundblick schon richtig bemerkte, ist es sinnvoll
mit der 2-ten Gleichung zu beginnen. Gibt es denn reelle Zahlen

x, y

, für die

x^{2} + y^{2} + 2 = 0

ist?
Gruß ermanus

Mond13 aktiv_icon

09:08 Uhr, 27.09.2018

Ich sehe jetzt keine reelle Zahl, für die das gleich 0 wird.

Wegen der zweiten Portenz bleiben die beiden Werte doch immer positiv. Richtig?

ermanus aktiv_icon

09:13 Uhr, 27.09.2018

Das siehst du ganz richtig, also folgt aus der Gleichung 2:

y = 0

.
Bleibt also nur noch die Gleichung 1:

4 x (x^{2} - 2) = 0

Mond13 aktiv_icon

09:20 Uhr, 27.09.2018

Ah jetzt verstehe ich langsam, was ihr meint! ;-)

Wenn ich jetzt

y = 0

in die

1)

Gleichung einsetze, so erhalte ich :

x_{1} = 0

x_{2} = + \sqrt{2}

x_{x} = - \sqrt{2}

Und somit die Punkte

P_{1} = (0; 0), P_{2} = (+ \sqrt{2}; 0), P_{3} = (- \sqrt{2}; 0)

Stimmt das so?

ermanus aktiv_icon

09:22 Uhr, 27.09.2018

Prima :-)

Mond13 aktiv_icon

09:23 Uhr, 27.09.2018

Super! Danke! ;-)

Respon

09:54 Uhr, 27.09.2018

\Rightarrow

T_{1} (- \sqrt{2} | 0 | - 4)

und

T_{2} (\sqrt{2} | 0 | - 4)

sind - vermutlich - Tiefpunkte.
Und was ist

S (0 | 0 | 0)

Mond13 aktiv_icon

10:39 Uhr, 27.09.2018

@ Respon

Tut mir leid, ich verstehe nicht ganz, was du damit sagen willst? :-D)

Stimmt das nicht, was wir berechnet haben? Für mich war das jetzt die Lösung meiner Frage.

Respon

10:43 Uhr, 27.09.2018

Ausgangspunkt in einem früheren Posting war deine Funktion

f (x, y) = {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 4 \cdot (x^{2} - y^{2})

Du solltest die Extrema finden, das hat dich dann zu deinem Gleichungssystem geführt, das natürlich korrekt gelöst wurde. Nur der Konnex wurde nicht mehr erwähnt.

Mond13 aktiv_icon

11:03 Uhr, 27.09.2018

Hallo Respon,

das habe ich auf eine andere Frage gelegt! ;-)

www.onlinemathe.de/forum/Nachweis-globales-oder-lokales-Extrema

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