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Nachweis: globales oder lokales Extrema

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Funktionen

Tags: Funktion, Funktionalanalysis

Mond13 aktiv_icon

11:40 Uhr, 26.09.2018

Hallo zusammen,

ich komme leider bei der folgenden Aufgabe nicht weiter:

Bestimmen Sie die Lage und Art aller Extrema der Funktion

f : ℝ^{2} \to ℝ

f (x, y) = {(x^{2} + y^{2})}^{2} - 4 (x^{2} - y^{2})

.
Handelt es sich um lokale oder globale Extrema? Begründen Sie Ihre Aussage.

Ich habe dazu schon ein bisschen im Internet nachgelesen und komme immer wieder auf die "Hesse-Matrizen". Leider kam ich bis jetzt damit noch nicht auf einen grünen Zweig.

Über eure Hilfe würde ich mich sehr freuen! ;-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

ledum aktiv_icon

11:50 Uhr, 26.09.2018

Hallo
hast du denn die Stellen mit grad(f)=0 schon bestimmt? Die Hesse Matrix an den Stellen bestimmt? warum im Internet suchen, hast du keine Vorlesung? was du nicht kannst geht aus deiner Frage nicht hervor.
es ist auch gut ein Programm wie etwa geogebra zu haben, was erstmal die Funktion zeichnet, (nur zur Kontrolle)
ich poste mal das Bildchen, das in 1 Minute erstellt war.
Gruß ledum

Mond13 aktiv_icon

11:02 Uhr, 27.09.2018

Hallo ledum,

tut mir eid, dass ich jetzt erst antworte! Ich habe erst einmal Probleme beim lösen der beiden Gleichungen gehabt. Das habe ich aber nun unter einer anderen Frage beantworten können! ( www.onlinemathe.de/forum/Gleichungssystem-loesen-486

Bis jetzt habe ich folgendes:

1) {f'}_{x} (x, y) = 4 x (x^{2} + y^{2} - 2)

2) {f'}_{y} (x, y) = 4 y (x^{2} + y^{2} + 2)

Wenn ich die beiden Terme gleich 0 setze, erhalte ich folgende Punkte für meine Extremstellen:

P_{1} (0; 0), P_{2} (+ \sqrt{2}; 0), P_{3} (- \sqrt{2}; 0)

Nun habe ich noch die Hesse-Matrix aufgestellt:

H_{f =} (\begin{matrix} 12 x^{2} + 4 y^{2} - 8 & 8 x \cdot y \\ 8 x \cdot y & 12 y^{2} + 4 x^{2} + 8 \end{matrix})

Jetzt setze ich die berechneten Extremstellen ein und bestimme jeweils den Eingenwert:

H_{f (0,0)} = (\begin{matrix} - 8 - λ & 0 \\ 0 & 8 - λ \end{matrix})

λ_{1} = 8

λ_{2} = - 8

\to d . h

. die Matrix ist indifinit und somit ist

P_{1} (0; 0)

ein Sattelpunkt

H_{f (+ \sqrt{2},0)} = (\begin{matrix} 16 - λ & 0 \\ 0 & 16 - λ \end{matrix})

λ_{1} = 16

λ_{2} = 16

\to d . h

. die Matrix ist positiv definit und

P_{2} (+ \sqrt{2},0)

ist ein Minimum

H_{f (- \sqrt{2},0)} = (\begin{matrix} 16 - λ & 0 \\ 0 & 16 - λ \end{matrix})

λ_{1} = 16

λ_{2} = 16

\to d . h

. die Matrix ist positiv definit und

P_{3} (- \sqrt{2},0)

ist ein Minimum

Soweit habe ich es hinbekommen. Ist das richtig gerechnet?

Nun komme ich bei der letzten Frage nicht weiter, wo ich begründen soll, ob es sich um lokale oder globale Extrema handelt?

LG

Respon

11:06 Uhr, 27.09.2018

Zwar richtig gedacht, aber nicht

P_{2} (\sqrt{2} | 0)

ist ein Minimum, sondern

. .

.
( Du befindest dich in

ℝ^{3},

und da hat jeder Punkt 3 Koordinaten )

Mond13 aktiv_icon

11:09 Uhr, 27.09.2018

Naja laut der Zeichnung von ledum und deiner Aussage bei der anderen Frage muss es

P_{2} (\sqrt{2} | 0 | - 4)

heißen. Aber wie komme ich den dann auf die -4?!

Respon

11:12 Uhr, 27.09.2018

Du berechnest den z-Wert

(z = f (x, y)

),

indem du in die Originalfunktion für

x

den Wert

\sqrt{2}

bzw.

- \sqrt{2}

einsetzt und für

y

den Wert 0.

Mond13 aktiv_icon

11:17 Uhr, 27.09.2018

Ah, verstehe. Also sind die richtigen Punkte:

P_{1} (0 | 0 | 0), P_{2} (+ \sqrt{2} | 0 | - 4), P_{3} (- \sqrt{2} | 0 | - 4)

Richtig?

Respon

11:19 Uhr, 27.09.2018

Es wäre günstig, wenn die Punkte eine Bezeichnung bekommen, die auf ihr Wesen hindeuten, also

z . B

T_{1}

bzw.

T_{2} . .

.
Ist dir der Unterschied zwischen lokalem Minimum und globalem Minimum klar ?

Mond13 aktiv_icon

11:28 Uhr, 27.09.2018

Ich habe das so verstanden, dass lokale Extremwerte die Extremwerte sind, die man in einem Bestimmten Bereich betrachtet. Globale Extrema sind dann alle Extremwerte, wenn man die gesammte Funktion betrachtet,

d . h

. auch gegen

+ \infty, - \infty

.

Demnach hätte ich jetzt gesagt, dass es sich jeweils bei

T_{1}

und

T_{2}

um globale Extrema handelt, da aus der Zeichnung hervorgeht, dass es keinen "tiefern" Punkt gibt.

Oder?

Respon

11:45 Uhr, 27.09.2018

" da aus der Zeichnung hervorgeht, dass es keinen "tiefern" Punkt gibt."
Das ist leider kein Beweis.
Betrachte den Wertebereich deiner Funktion im gesamten Definitionsbereich

(x \in ℝ

und

y \in ℝ)

Muss leider offline gehen.

Mond13 aktiv_icon

14:31 Uhr, 27.09.2018

D . h

. es handelt sich um globale Extrema, da sich der Definitionsbereich über ganz

ℝ

bezieht?
Wenn es sich um einen weiter eingeschrängten Definitionsbereich handeln würde (und das Extrema sich darin befindet), wäre es dann ein lokales Exrema, oder?

ermanus aktiv_icon

14:52 Uhr, 27.09.2018

Hallo,
zunächst zur Sprache: "Extrema" ist Plural, Singular ist "Extremum".
Um zu zeigen, dass deine beiden lokalen Minima auch globale Minima sind,
musst du zeigen, dass

f (x, y) \geq - 4

ist für alle

(x, y) \in ℝ^{2}

.
Das war es sicher, was dir Respon mitteilen wollte.
Diesen Beweis musst du noch erbringen. Anschaulich ist dir das ja klar.
Versuch das doch mal zu beweisen ...
Wenn du nicht weiter kommst, melde dich wieder.
Gruß ermanus

Mond13 aktiv_icon

15:15 Uhr, 27.09.2018

Muss ich dann folgendes rechnen?

lim_{(x | y) \to (+ \sqrt{2} | 0)} f (x, y)

lim_{(x | y) \to (- \sqrt{2} | 0)} f (x, y)

Geht das überhaupt?

ermanus aktiv_icon

15:25 Uhr, 27.09.2018

Nein, so ist das nicht gemeint.
Du sollst ja nicht irgendeinen Grenzfall betrachten,
sondern zeigen, dass die Funktion in der ganzen(!) Ebene
keinen kleineren Wert als

- 4

annehmen kann.
Das ist doch genau das, was man in ledums Bild (26.09. um 11:50 Uhr)
sehen kann und wohl auch das, was du vermutest, dass nämlich deine
lokalen Minima-Stellen wirklich Punkte sind, in denen die Funktion
den gesamt-kleinsten Wert annimmt.
Das hat mit Grenzwerten gar nichts zu tun.
Du musst die Ungleichung

(x^{2} + y^{2})^{2} - 4 (x^{2} - y^{2}) \geq - 4

, d.h.

(x^{2} + y^{2})^{2} - 4 (x^{2} - y^{2}) + 4 \geq 0

für alle (!)

(x, y)

beweisen.

Mond13 aktiv_icon

15:35 Uhr, 27.09.2018

Achso! Ok, also wenn ich mir die Ungleichung anschaue, sehe ich ja, dass der vordere Term

{(x^{2} + y^{2})}^{2}

schon mal nicht kleiner als 0 verden kann.
Auch wenn

x = 0

und

y = 0

ist das kein Problen, usw.

Aber wie schreibe ich das jetzt mathematisch so hin, dass es passt?

Ich hatte leider letztes Semester keine Vorlesung in Mathe, da ich im Ausland war und bin deshalb noch ziemlich neu im Uni-Mathe. Muss aber die Prüfung irgendwie trotzem mitschreiben, sonst kann ich jetzt dann nicht mit der Bachelor-Arbeit beginnen :-D)

ermanus aktiv_icon

15:44 Uhr, 27.09.2018

Ja, der Blick auf quadratische Ausdrücke ist schon mal vollkommen richtig
und eine Summe von Quadraten ist

\geq 0

.
Die Frage ist, wie man dies

f (x, y) + 4

in eine Quadratsumme umbasteln kann.
Vielleicht weiß ein anderer Helfer hier einen einfacheren Rat, als
ich (als alter Algebraiker) zu bieten habe:

(x^{2} + y^{2})^{2} - 4 (x^{2} - y^{2}) + 4 = (x^{2} + y^{2})^{2} - 4 (x^{2} + y^{2}) + 4 + 8 y^{2}

.
Ich komme auf diese Umformung, wenn ich mir die Substitution

z := x^{2} + y^{2}

vorstelle, also

z^{2} - 4 z + 4 + 8 y^{2} = (z - 2)^{2} + 8 y^{2}

. Das ist eine Summe von Quadraten,
also

\geq 0

Mond13 aktiv_icon

15:59 Uhr, 27.09.2018

Super! Vielen Dank! Das ist ja dann eigentlich gar nicht so schwer! ;-)

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