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Gradient in Skalarfeld umwandeln

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Gradient, Vektoranalysis

Dunkler

12:10 Uhr, 03.05.2016

Guten Tag,

Ich habe einen Gradienten gegeben.
Diesen möchte ich nun ein Skalarfeld umwandeln.

Mein erster Gedanke dazu war,
dass ich einfach jede Zeile integriere.

Also
gradA

= x \cdot i + 2 \cdot j + 6 z \cdot k

Aufgleitet:

(\frac{1}{2}

x²

+ c 1 (y, z)) \cdot i + (2 y + c 2 (x, z)) \cdot j +

(3z²

+ c 3 (x, y)) \cdot k

(Das Skalarfeld lautet:

\frac{1}{2}

x²

+ 2 y +

3z²)
Doch nun wüsste ich nicht wie die Konstanten zu berechnen sind.

Mit freundlichen Grüßen
Dunkler

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

funke_61 aktiv_icon

14:40 Uhr, 03.05.2016

Hallo,
falls

i, j

und

k

die drei Einheitsvektoren in

x, y

und z-Richtung eines rämlichen Koordinatensystems sind, dann ist das Skalarfeld

A = \frac{1}{2} x^{2} + 2 y + 3 z^{2}

EINE mögliche Lösung.

"Skalarfeld" bedeutet, dass jedem "Punkt des Raumes"

P (x, y, z)

ein bestimmter "Wert"

A (x, y, z)

zugeordnet ist.

Da der Gradient eines Skalarfeldes der "Vektor der Richtungsableitungen" ist, gibt er die "Änderung dieses Skalarfeldes" ( für jede der drei Raum-Richtungen) als Vektor an.
grad

A = (\begin{matrix} \frac{\partial A}{\partial x} \\ \frac{\partial A}{\partial y} \\ \frac{\partial A}{\partial z} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x \\ 2 \\ 6 z \end{matrix})

Überleg Dir mit diesem Hintergrund nochmal, was aus deinen Konstanten

c_{1}, c_{2}

und

c_{2}

wird.
;-)

Dunkler

14:48 Uhr, 03.05.2016

Guten Tag,

ich kann dir leider noch nicht ganz folgen.

Willst Du vlt. Darauf hinaus,
dass die Konstanten Funktionen sind?

Mit freunlichen Grüßen
Dunkler

funke_61 aktiv_icon

14:59 Uhr, 03.05.2016

nein,
oben hast Du Deine "Integrations-Konstanten" als Funktionen

c_{1} (y, z), c_{2} (x, z)

und

c_{3} (x, y)

dargestellt.

Durch Deine "Aufleitung" erhältst Du "als Ansatz" das "allgemeine Skalarfeld"

A (x, y, z) = \frac{1}{2} x^{2} + c_{1} (y, z) + 2 y + c_{2} (x, z) + 3 z^{2} + c_{3} (x, y)

(Vorsicht! dies ist kein Vektorfeld , sondern wie gewünscht ein Skalarfeld!)

Versuche jetzt aus diesem allgemeinen Skalarfeld wieder die einzelnen Partiellen Ableitungen

\frac{\partial A}{\partial x}

\frac{\partial A}{\partial y}

\frac{\partial A}{\partial z}

zu bilden.
Was fällt Dir dabei auf?

Dunkler

15:17 Uhr, 03.05.2016

Hallo,

dann hätte ich für Beispielsweise

X

die Konstanten der anderen beiden

(C 2

und

C 3)

mit dabei.

Könnte ich daher also irgendwie ein Gleichungssystem daraus bilden,
oder ist mein ganzer Ansatz falsch.

Mit freundlichen Grüßen
Dunkler

funke_61 aktiv_icon

15:29 Uhr, 03.05.2016

"dann hätte ich für Beispielsweise

X

die Konstanten der anderen beiden

(C 2

und

C 3)

mit dabei."

Ok, so kann man es betrachten! (Keine Angst das wird nicht kompliziert):
Die erste Gleichung dieses Gleichungssystems ergäbe sich aus

\frac{\partial A}{\partial x} = x

(siehe Deine Aufgabe oben)
und

\frac{\partial A}{\partial x} = x + \frac{\partial c_{2} (x, z)}{\partial x} + \frac{\partial c_{3} (x, y)}{\partial x}

(die partielle Ableitung Deines "Ansatzes")
.
Was folgt daraus?

Dunkler

15:49 Uhr, 03.05.2016

Hallo,
Das gilt: ∂c2(x,z)/∂x

+

c3(x,y)/∂x

= 0

Nur kann ich das doch nicht mit den anderen,

z . B

. c3(x,y)/∂y, verrechnen,
oder doch?

Grüße
Dunkler

funke_61 aktiv_icon

15:53 Uhr, 03.05.2016

Du meintest wohl:
"Dann gilt:

\frac{\partial c_{2} (x, z)}{\partial x} + \frac{\partial c_{3} (x, y)}{\partial x} = 0

"
genau :-)

"Nur kann ich das doch nicht mit den anderen,

z . B

. c3(x,y)/∂y, verrechnen,
oder doch?"

Falls Du jetzt immer noch nicht weiter kommst, dann musst Du eben die beiden anderen Gleichungen ebenfalls aufstellen und auswerten . . .
;-)

Dunkler

16:11 Uhr, 03.05.2016

Hab ich schon,
∂c2(x,z)/∂x

+

c3(x,y)/∂x

= 0

∂c1(y,z)/∂y

+

c3(x,y)/∂y

= 0

∂c1(y,z)/∂z

+

c2(x,z)/∂z

= 0

Könnte ich einfach sagen,
dass ich das was ich bei der Ableitung erhalte auch wieder als

C 1, C 2, C 3

zusammenfassen kann und daher die ganzen verrechnen kann?

Nur könnte ich mich da schon selbst wiederlegen.
Denn wenn ich nun einfach annehme, dass

C 3 =

x²+y ist,
wäre die Ableitung in der ersten und zweiten Zeile nicht mehr identisch.

Wenn ich sie jedoch alle als unterschiedlich ansehe, habe ich 3 Gleichungen und 9 Unbekannte.

MfG
Dunkler

funke_61 aktiv_icon

16:21 Uhr, 03.05.2016

"Nur könnte ich mich da schon selbst wiederlegen.
Denn wenn ich nun einfach annehme, dass

C 3 =

x²+y ist,
wäre die Ableitung in der ersten und zweiten Zeile nicht mehr identisch."
Eben. Diese Annahme erfüllt Das Gleichungssystem eben nicht!
Also ist eine solche Annahme auch nicht besonders sinnvoll.

"Wenn ich sie jedoch alle als unterschiedlich ansehe, habe ich 3 Gleichungen und 9 Unbekannte."
Ist also auch nicht besonders zielführend, oder?

Aber es gibt doch eine (sehr einfache Annahme), die alle diese Probleme löst, und zwar für die "erste Bedingung":

\frac{\partial c_{2} (x, z)}{\partial x} = 0

\frac{\partial c_{3} (x, y)}{\partial x} = 0

(und entsprechend für die anderen zwei Bedingungen)
Was würde daraus für

c_{1}, c_{2}

und

c_{3}

folgen?

Dunkler

16:27 Uhr, 03.05.2016

Das natürlich alle gleich Null sein müssten.

Aber ich kann doch nicht einfach ausschließen,
dass gilt: ∂c1(y,z)/∂z = c2(x,z)/∂z

Oder doch?

MfG
Dunkler

funke_61 aktiv_icon

16:52 Uhr, 03.05.2016

"Das natürlich alle gleich Null sein müssten."
Genau. Aber was heisst das für die

c_{1}, c_{2}

und

c_{3}

?

"Aber ich kann doch nicht einfach ausschließen,
dass gilt: ∂c1(y,z)/∂z = c2(x,z)/∂z
Oder doch?"
Wo Das herkommten soll, kann ich leider nicht nachvollziehen . . .

Dunkler

17:09 Uhr, 03.05.2016

Das sie gleich Null sind?

Wenn ich:

0 =

∂c1(y,z)/∂z

+

c2(x,z)/∂z
umforme:
- ∂c1(y,z)/∂z = c2(x,z)/∂z

MfG
Dunkler

funke_61 aktiv_icon

09:36 Uhr, 04.05.2016

"Das sie gleich Null sind?"
nein! Erinnere Dich an "Funktionen einer Veränderlicher"
Woher kommt denn die Integrationskonstante bei unbestimmten Integralen?

"Wenn ich:

0 =

∂c1(y,z)/∂z

+

c2(x,z)/∂z
umforme:
- ∂c1(y,z)/∂z = c2(x,z)/∂z"

ok, jetzt ist zumindest das vermisste Minuszeichen dabei. Aber das

\partial

vor

c_{2}

unterschlägst Du regelmäßig.

Sorry, für mich ist es an dieser Stelle einfach klar, dass

c_{1}, c_{2}

und

c_{3}

nur Konstanten sein können, die man zu einer einzigen Integrationskonstanten

C

zusammenfassen kann.
(ich kann es Dir leider nicht beweisen.)
Vielleicht schafft das ja noch jemand anders ?

funke_61 aktiv_icon

15:04 Uhr, 04.05.2016

Da mir diese Sache auch keine Ruhe gelassen hat, habe ich meinerseits hier einen Thread eröffnet:
http//www.onlinemathe.de/forum/DGL-mehrerer-Veraenderlicher
Die Quintessenz daraus ist:
"Es gibt keine anderen Potentiale" als

A (x, y, z) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 y + 3 z^{2} + C

"denn wenn ein Potential ein Nullgradient erzeugt, ist er konstant."

Dh: das Vektorfeld
grad

C = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

kann nur aus jedem konstanten Potential

C

erzeugt werden.
(und: für Vektorfelder gilt das Superpositionsprinzip)

Daraus schließe ich, dass zusätzlich zum von Dir oben angegebenen Skalarfeld

A = \frac{1}{2} x^{2} + 2 y + 3 z^{2}

nur ein "konstantes Potential"

C

überlagert sein kann, da das zugrunde gelegte Gradientenfeld eben als
grad

A = (\begin{matrix} x \\ 2 \\ 6 z \end{matrix}) = (\begin{matrix} x \\ 2 \\ 6 z \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

gegeben ist.
;-)

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