Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Grenzwert

Grenzwert

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

couman990 aktiv_icon

18:53 Uhr, 19.04.2019

Hallo zusammen,

der Grenzwert

lim (x \to 0) \frac{1}{x^{2}} \cdot (1 - \frac{1}{cos (x)})

soll berechnet werden.

Ich hätte jetzt die Regel von L´Hospital benutzt:

lim (x \to 0) \frac{1}{x^{2}} \cdot (1 - \frac{1}{cos (x)}) =

\frac{0}{0}

lim (x \to 0) \frac{1}{x^{2}} \cdot (1 - \frac{1}{cos (x)}) = lim (x \to 0) - \frac{sin (x)}{x^{2} \cdot {cos}^{2} (x)} - \frac{2 \cdot (1 - \frac{1}{cos (x)})}{x^{3}} =

\frac{0}{0}

"

Was muss ich jetzt noch machen? weil man könnte dies ja beliebig oft weiter machen und würde wieder diesen Grenzwert erhalten. Habe ich einen Fehler gemacht ?

Danke im Voraus !

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

pwmeyer aktiv_icon

19:09 Uhr, 19.04.2019

Hallo,

Du leitest irgendwie komisch ab. Du brauchst einen unbestimmten Ausdruck der Form

\frac{f (x)}{g (x)}

.

Was ist bei Dir

f

und was g?

Gruß pwm

couman990 aktiv_icon

19:24 Uhr, 19.04.2019

oh stimmt:

lim (x \to 0) \frac{1}{x^{2}} \cdot (1 - \frac{1}{cos (x)}) = lim (x \to 0) \frac{1}{2 \cdot x} \cdot (\frac{1}{{cos}^{2} (x)} \cdot - sin (x)) =

\frac{0}{0}

"

So müsste die Ableitung jetzt stimmen, sprich

f (x) = \frac{1}{x^{2}}

und

g (x) = (1 - \frac{1}{cos (x)})

Nur hierbei erhalte ich ja wieder den Grenzwert

\frac{0}{0}

supporter aktiv_icon

19:50 Uhr, 19.04.2019

\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2} cos x}

\frac{cos x - 1}{x^{2} \cdot cos x}

. .

couman990 aktiv_icon

19:56 Uhr, 19.04.2019

achsoo:

lim (x \to 0) \frac{\frac{1}{{cos}^{2} (x)} \cdot - sin (x)}{2 \cdot x} = lim (x \to 0) \frac{(\frac{- 2 \cdot {sin}^{2} (x)}{{cos}^{3} (x)}) - \frac{1}{cos (x)}}{2} = - \frac{1}{2}

so etwa ?

supporter aktiv_icon

20:04 Uhr, 19.04.2019

Das Ergebnis stimmt, deinen Weg verstehe ich aber nicht.

Waru leitesst du nich Zähler und Nenner getrennt ab?

- \to \frac{- sin x}{2 x \cdot cos x - x^{2} \cdot sin x}

Nochmal ableiten (Produktregel!)

. .

Roman-22

20:06 Uhr, 19.04.2019

>

so etwa ?
Ja, das ist richtig. Nur der Faktor

(- sin x)

muss in Klammern gesetzt werden.

Alternativ kannst du auch, wie supporter vorgeschlagen hat, den Angabeausdruck erst zu

\frac{cos x - 1}{x^{2} \cdot cos x}

zusammenfassen und dann zweimal mit de l'Hôspital draufschlagen.

@supporter

>

Waru leitesst du nich Zähler und Nenner getrennt ab?
Das macht er ja - nur eben mit dem unvereinfachten Ausdruck

\frac{1 - \frac{1}{cos x}}{x^{2}}

couman990 aktiv_icon

20:07 Uhr, 19.04.2019

Ich bin ursprünglich von

f (x) = 1 - \frac{1}{cos (x)}

und

g (x) = \frac{1}{x^{2}}

ausgegangen. Diese Funktionen habe ich dann zweimal abgeleitet . Oder ist das falsch ?

Roman-22

20:09 Uhr, 19.04.2019

>

Oder ist das falsch ?
Wie du es zum Schluss gemacht hast, ist es richtig. Wie du es gerade geschrieben hast ist es falsch, weil du

g (x) = x^{2}

gewählt hast und nicht

g (x) = \frac{1}{x^{2}}

couman990 aktiv_icon

20:12 Uhr, 19.04.2019

ja stimmt

g (x) = x^{2}

. Ok also der Grenzwert ist

- \frac{1}{2}

Roman-22

20:17 Uhr, 19.04.2019

>

Ok also der Grenzwert ist

- 12

Ja, die Richtigkeit deines Ergebnisses haben dir supporter und ich ja bereits bestätigt.

anonymous

11:31 Uhr, 20.04.2019

Hallo
Wenn du dich damit angefreundet hast, gestatte, dass ich noch einen alternativen Lösungsweg vorschlagen will. Wir sind ja zum Lernen da...

Die angesprochene Vereinfachung auf einen Einfach-Bruch hätte auch ich anempfohlen:

G = lim_{x \to 0} \frac{cos (x) - 1}{x^{2} \cdot cos (x)}

Ich schlage vor, die Reihenentwicklung der cos-Funktion zu nutzen.

cos (x) = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - . .

.

Geschickt einsetzen:

G = lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - ... - 1}{x^{2} \cdot cos (x)}

Meinst du, du kommst von hier aus alleine weiter?
Viel Spaß!

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1466633

1466569

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?