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Grenzwert

Schüler

Tags: Analysis

Randolph Esser aktiv_icon

11:36 Uhr, 10.11.2026

Hallo,

man bestimme

lim_{n \to \infty} a_{n} := \sum_{k = 1}^{n} \frac{k^{2}}{n^{4} - 10 k^{2}}

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Randolph Esser aktiv_icon

12:51 Uhr, 10.11.2026

Ziemlich simpel, wenn man sich nur aufmacht:

Es gilt

\frac{1}{n^{4}} \sum_{k = 1}^{n} k^{2} \leq \sum_{k = 1}^{n} \frac{k^{2}}{n^{4} - 10 k^{2}} \leq \frac{1}{n^{4} - 10 n^{2}} \sum_{k = 1}^{n} k^{2}

einerseits, und

\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{1}{3} n^{3} + \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{6} n

andererseits, also

\frac{\frac{1}{3} n^{3} + \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{6} n}{n^{4}} \leq a_{n} \leq \frac{\frac{1}{3} n^{3} + \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{6} n}{n^{4} - 10 n^{2}}

Mit dem Quetschlemma folgt

a_{n} \to 0 (n \to \infty)

HAL9000

12:54 Uhr, 10.11.2026

Ich würde mir nicht mal die Mühe der Summenauswertung machen:

Für

n \geq 5

ist

n^{4} - 10 k^{2} \geq n^{4} - 10 n^{2} \geq \frac{n^{4}}{2}

und damit

0 \leq a_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{k^{2}}{n^{4} - 10 k^{2}} \leq \frac{n \cdot n^{2}}{\frac{n^{4}}{2}} = \frac{2}{n}

,

mit Sandwich ist dann

lim_{n \to \infty} a_{n} = 0

klar.

P.S.: Etwas interessanter wäre

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{k^{2}}{n^{3} - 10 k^{2}} = \frac{1}{3}

Randolph Esser aktiv_icon

13:03 Uhr, 10.11.2026

Fürwahr, sehr kaltschnäuzig niedergemetzelt, Danke.

HAL9000

13:17 Uhr, 10.11.2026

Ich hatte ja erst gedacht, es läuft auf ein Integral als Grenzwert hinaus, wie etwa bei

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{k^{2}}{10 n^{3} - k^{3}} = \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{10 - x^{3}} d x = \frac{1}{3} \ln (\frac{10}{9})

Randolph Esser aktiv_icon

13:45 Uhr, 10.11.2026

Da sind wir noch nicht.
Bin gerade bei Forsters Ana 1, Kapitel 4,
mit meinem Wiederholungs-Drillich
(und entsprechende Aufgaben dazu).
So gesehen kennen wir (der Dicke und ich)
nur ein paar urerste Aussagen und Tricks
über Folgen und Reihen -
Integrieren ist noch ein Fremdwort.
Als nächstes kommt Paragraph 5 (also Kapitel 5),
"Das Vollständigkeits-Axiom"...

Randolph Esser aktiv_icon

14:20 Uhr, 10.11.2026

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