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Grenzwert berechnen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

Mathball aktiv_icon

16:38 Uhr, 26.06.2019

Hi, ich komme bei einer Umformung nicht weiter.
Die Aufgabe lautetet wie folgt:

a_{n} = 2^{- n} (2^{n} + {(- 2)}^{n})

lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} 2^{- n} (2^{n} + {(- 2)}^{n})

= \frac{2^{n} + {(- 2)}^{n}}{2^{n}}

= 1 + {(- 1)}^{n}

Welcher Schritt wurde gemacht, um auf dieses Ergebnis zu kommen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

pivot aktiv_icon

16:44 Uhr, 26.06.2019

Hallo,

du kannst bei

(- 2)^{n}

den Term

2^{n}

ausklammern, da

2^{n} \cdot (- 1)^{n} = (- 2)^{n}

.

Dann steht da

\frac{2^{n} + 2^{n} \cdot (- 1)^{n}}{2^{n}}

.

Nun kürzen.

Gruß

pivot

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16:50 Uhr, 26.06.2019

Teilbrüche bilden_

\frac{2^{n}}{2^{n}} + \frac{{(- 2)}^{n}}{2^{n}} = 1 + {(\frac{- 2}{2})}^{n} = 1 + {(- 1)}^{n}

rundblick aktiv_icon

16:58 Uhr, 26.06.2019

.
offensichtlich bist du, Mathball , sprachlos , so schnell zwei gute Antworten zu bekommen..

damit du vielleicht doch noch was schreibst , hier die nächste Frage:
dein Titel ist : "Grenzwert berechnen"

\to

was meinst du nun dazu ?

\to lim_{n \to \infty} a_{n} = . .

.
.

Mathball aktiv_icon

17:05 Uhr, 26.06.2019

Danke!
@pivot

d . h

. im Grund habe ich dann:

\frac{2^{n}}{2^{n}} + \frac{2^{n} \cdot {(- 1)}^{n}}{2^{n}} = 1 + {(- 1)}^{n}

So kann ich auch nachvollziehen, was gekürzt wird. Danke dir!

@supporter
danke! sehr guter weg, den checke ich auf anhieb!

@rundblick
ja, es macht mich echt glücklich, dass man hier solche Antworten bekommt!

Also für gerade Indizes

n

ist

a_{n} = 2

und für ungerade Indizes

n

ist

a_{n} = 0

. Daraus erkenne ich, dass die Folge nicht konvergent ist und somit keinen Grenzwert hat. Ist das soweit korrekt?

rundblick aktiv_icon

17:08 Uhr, 26.06.2019

.
" Ist das soweit korrekt?"

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . .

. JA
Mann stellt hier dann fest, dass diese Folge 2 "Häufungspunkte" hat .. :-)

.

supporter aktiv_icon

17:08 Uhr, 26.06.2019

PS:

Er wäre auch kürzer gegangen:

2^{- n} \cdot (2^{n} + {(- 2)}^{n}) = 1 + \frac{{(- 2)}^{n}}{2^{n}} = . .

.

Den HN zu bilden war unnötig. Man kann einfach ausmultiplizieren.

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