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Grenzwert bestimmen

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwertbestimmung

Reykja aktiv_icon

16:42 Uhr, 03.06.2020

Hallo! Wie bestimme ich den Grenzwert von:

lim n \to

∞

\frac{\sqrt{(n^{2} + 1)}}{n^{4} + 1})

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

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16:52 Uhr, 03.06.2020

n^{4}

im Zähler und Nenner ausklammern und damit kürzen:

\frac{\sqrt{n^{8} \cdot (\frac{1}{n^{6}} + \frac{1}{n^{8}})}}{n^{4} + 1}

\frac{n^{4} \cdot \sqrt{\frac{1}{n^{6}} + \frac{1}{n^{8}}}}{n^{4} \cdot (1 + \frac{1}{n^{4}})}

\frac{\sqrt{\frac{1}{n^{6}} + \frac{1}{n^{8}}}}{1 + \frac{1}{n^{4}}} = \frac{0}{1} = 0

für

n

gg.oo

Reykja aktiv_icon

17:05 Uhr, 03.06.2020

erstmal danke für deine Antwort! ich sehe allerdings gerade, dass die Wurzel nur im Zähler ist... gilt eigentlich auch für den Nenner, sprich:

lim n \to

∞

\sqrt{\frac{n^{2} + 1}{n^{4} + 1}}

sorry LG

Reykja aktiv_icon

17:11 Uhr, 03.06.2020

und wenn ich noch fragen dürfte, wie bist du in der ersten Zeile auf die

\frac{1}{6}

gekommen?

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17:20 Uhr, 03.06.2020

Wenn du Wurzel über den ganzen Bruch geht, ist das etwas anderes.
Dann kannst du unter der Wurzel ausklammern und kürzen.

Ich habe im Zähler unter der Wurzel ausgeklammert und dann Teilwurzeln gezogen.

\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}

Atlantik aktiv_icon

19:44 Uhr, 03.06.2020

Ist es so auch möglich?

lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{n^{2} + 1}{n^{4} + 1}} \to lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{2 n}{4 \cdot n^{3}}} = lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{1}{2 \cdot n^{2}}} \to 0

mfG

Atlantik

anonymous

00:27 Uhr, 04.06.2020

Lösungsvorschlag:

lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{n^{2} + 1}{n^{4} + 1}} = \sqrt{lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} \cdot (1 + \frac{1}{n^{2}})}{n^{2} \cdot (n^{2} + \frac{1}{n^{2}})}}

= \sqrt{lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n^{2}}}{n^{2} + \frac{1}{n^{2}}}}

Meinst du, du kommst von hier aus allein weiter?

ermanus aktiv_icon

09:09 Uhr, 04.06.2020

Hallo,
alle bisherigen Vorschläge gehen davon aus, dass

lim

und

\sqrt{}

vertauschbar sind. Da zu diesem Zeitpunkt aber vermutlich noch keine
Stetigkeitsaussagen über die Quadratwurzelfunktion vorhanden sind,
gebe ich hier zwecks "Methodenreinheit" folgenden Beweis:

0 \leq \sqrt{\frac{n^{2} + 1}{n^{4} + 1}} \leq \sqrt{\frac{2 n^{2}}{n^{4} + 1}} \leq \sqrt{\frac{2 n^{2}}{n^{4}}} = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{n} \to \sqrt{2} \cdot 0 = 0 .

Hier wurde nur die Monotonie der Wurzelfunktion verwendet, die aber elementar ist.

Gruß ermanus

P.S.: Natürlich würde ich normalerweise einem der anderen Vorschläge
folgen ;-)

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