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Grenzwert einer Folge

Universität / Fachhochschule

Funktionenfolgen

Tags: Folgen, Funktionenfolgen, Grenzwertbestimmung

Rtxx5 aktiv_icon

22:05 Uhr, 04.02.2025

Hallo, bei der Aufgabe im Anhang soll man den Grenzwert bestimmen, Ich habe durch grobes Schätzen 1 als Grenzwert angegeben. Ist dies richtig? Gibt es vielleicht ein besseres Vorgehen als Schätzen? Wie würdet ihr das Lösen?
Vielen Dank für eure Antworten

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

calc007

22:15 Uhr, 04.02.2025

Hallo
Dein Hergang bei der Schätzung würde mich dann doch interessieren. Denn - der erste Faktor beträgt doch

(\frac{3}{4}),

alle anderen Faktoren sind kleiner als 1. Also dass damit ein Grenzwert, falls er denn exisitiert, kleiner als

\frac{3}{4}

ist, sollte schnell einsichtig sein.

Tipp:
Wer die Reihe mal ein wenig ausschreibt, der kommt vielleicht auf

\frac{2^{2} - 1}{2^{2}} \cdot \frac{3^{2} - 1}{3^{2}} \cdot \frac{4^{2} - 1}{4^{2}} \cdot \frac{5^{2} - 1}{5^{2}} \cdot \frac{6^{2} - 1}{6^{2}} \cdot . .

= \frac{(2 + 1) \cdot (2 - 1)}{2^{2}} \cdot \frac{(3 + 1) \cdot (3 - 1)}{3^{2}} \cdot \frac{(4 + 1) \cdot (4 - 1)}{4^{2}} \cdot \frac{(5 + 1) \cdot (5 - 1)}{5^{2}} \cdot . .

= \frac{1 \cdot 3}{2^{2}} \cdot \frac{2 \cdot 4}{3^{2}} \cdot \frac{3 \cdot 5}{4^{2}} \cdot \frac{4 \cdot 6}{5^{2}} \cdot \frac{5 \cdot 7}{6^{2}} \cdot . .

.

Jetzt muss ich aber schnell aufhören, sonst steht die Lösung schon da...

Rtxx5 aktiv_icon

22:45 Uhr, 04.02.2025

Was ist die Lösung?

\frac{3}{4}

calc007

22:47 Uhr, 04.02.2025

Bist du jetzt am raten oder am mitdenken?

Rtxx5 aktiv_icon

23:06 Uhr, 04.02.2025

Kann mir sonst jemand anderes die Lösungen nennen? Nach meinem Erachten müsste es dann

\frac{3}{4}

sein, da die restlichen Werte sich der 1 annähern.

calc007

23:13 Uhr, 04.02.2025

Na ja, wenn ich den obigen Gedanken mal noch ein wenig weiter führen dürfte:
Die ersten beiden Faktoren lauten

(\frac{3}{4}) \cdot (\frac{8}{9})

Alle weiteren Faktoren sind kleiner als 1.
Folglich muss der Grenzwert, wenn er denn exisitiert, kleiner als

(\frac{3}{4}) \cdot (\frac{8}{9}) = \frac{2}{3}

sein.

Vielleicht guggst du dir die Reihenentwicklung doch mal genauer an.
Die sieht doch sehr sehr regelmäßig aus.
Wenn dir dir

~ 5

Glieder, die ich vor Augen geführt hatte, nicht genügen,
dann kannst du ja

10

Glieder aufschreiben
oder

20

oder

50

. .

.
Das wird doch sehr sehr schnell langweilig oder offensichtlich, welche Regel dahinter steckt...

Respon

00:12 Uhr, 05.02.2025

Ich füge am Ende noch einige Faktoren ein.

\frac{1 \cdot 3}{2^{2}} \cdot \frac{2 \cdot 4}{3^{2}} \cdot \frac{3 \cdot 5}{4^{2}} \cdot \frac{4 \cdot 6}{5^{2}} \cdot \frac{5 \cdot 7}{6^{2}} \cdot \frac{6 \cdot 8}{7^{2}} \cdot \frac{7 \cdot 9}{8^{2}} \cdot ... \cdot \frac{(n - 3) \cdot (n - 1)}{{(n - 2)}^{2}} \cdot \frac{(n - 2) \cdot (n)}{{(n - 1)}^{2}} \cdot \frac{(n - 1) \cdot (n + 1)}{n^{2}} =

= \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \frac{n - 3}{n - 2} \cdot \frac{n - 2}{n - 1} \cdot \frac{(n - 1) \cdot (n + 1)}{n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{n + 1}{n}

lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \cdot \frac{n + 1}{n} = . .

KL700 aktiv_icon

07:19 Uhr, 05.02.2025

www.onlinemathe.de/forum/Grenzwert-einer-Produktfolge

Mathe45

08:15 Uhr, 05.02.2025

@KL700
Was hat das mit dieser Aufgabe zu tun ?

michaL aktiv_icon

08:38 Uhr, 05.02.2025

Hallo,

@Respon: Ich ahne, was du vorhast/vorhattest: du wolltest dem OP zeigen, dass es sich im Prinzip um ein Teleskopprodukt handelt.
Ich fürchte aber, dass
> noch einige Faktoren
den Blick auf's Wesentliche verstellen.

Vermutlich sollte man sich lieber auf drei benachbarte Faktoren beschränken:

\dots + \frac{(k - 1) (k + 1)}{k^{2}} + \frac{k (k + 2)}{(k + 1)^{2}} + \frac{(k + 1) (k + 3)}{(k + 2)^{2}} + \dots

Am mittleren Term(!) erkennt man nämlich, dass er sich komplett kürzt:
Der Nenner wird zu einem Teil mit dem Vorgängerzähler, zum anderen Teil mit dem Nachfolgerzähler gekürzt.
Der kleinere Faktor des Zähler kürzt sich mit dem Nenner des Vorgängers, der größere mit dem Nenner des Nachfolgers.

Was bleibt? Es bleiben die sich nicht entsprechend der oben angegebenen Gesetzmäßigkeit kürzen lassenden Faktoren an den beiden Rändern:

\frac{1}{2}

am linken Rand und

\frac{n + 1}{n}

am rechten.

@Rtxx5: Unabhängig davon kann ich aber calc007 nur zustimmen:
Eine Explorationsphase würde genau dies zutage fördern. Man müsste sich nur mal die Mühe machen, sie auch wirklich durchzuführen...

Mfg Michael

KL700 aktiv_icon

08:46 Uhr, 05.02.2025

Sorry, da hab ich nicht aufgepasst und das Quadrat übersehen.
Danke für den Hinweis.

HAL9000

09:23 Uhr, 05.02.2025

> Eine Explorationsphase würde genau dies zutage fördern. Man müsste sich nur mal die Mühe machen, sie auch wirklich durchzuführen

Das erstaunt mich auch immer wieder, dass diese bei vielen Leuten unterbleibt. Sofern man nicht sofort eine zündende Lösungsidee hat, ist das doch das naheliegendste, was man zum Verständnis der Problems zunächst tun sollte: Die ersten paar Folgenglieder berechnen!

P.S.: Allgemein gilt für

t \in ℂ \ {- 1, 0, - 1}}

\prod_{k = 2}^{\infty} (1 - \frac{t^{2}}{k^{2}}) = \frac{\sin (π t)}{π t (1 - t^{2})} = : g (t)

,

wobei die drei Definitionslücken sämtlich stetig hebbar sind, und zwar mit

lim_{t \to 0} g (t) = 1

sowie

lim_{t \to \pm 1} g (t) = \frac{1}{2}

,

letzteres entspricht ja dem unendlichen Produkt hier im Thread.

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