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Grenzwert einer Folge mit Wurzelterm

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, lim

anonymous

16:56 Uhr, 06.01.2016

lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^{4} - n^{2}} - n^{2})

Hallo zusammen, ich muss leider gestehen, obige Aufgabe bereitet mir Kopfzerbrechen. Laut wolframalpha lautet das Ergebnis

- \frac{1}{2}

. Ich selbst komme leider auf

0,

Rechnung wie folgt:

1.

n^{4}

aus der Wurzel rausziehen

lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^{4} \cdot (1 - \frac{1}{n^{2}})} - n^{2}) = (n^{2} \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{n^{2}}} - n^{2})

2. Ausdruck in der Klammer läuft gegen

1,

da:

\sqrt{1 - \frac{1}{\infty}},

daher:

lim_{n \to \infty} (n^{2} \cdot 1 - n^{2}) = 0

An und für sich wäre

\infty - \infty

natürlich ein unbestimmer Fall, allerdings sind hier ja zwei identische Potenzen

. .

.

Weiß zufällig jemand, wo es hapert? Verrechnet, Gedankenfehler

. .

. Ich komm nicht drauf.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

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17:18 Uhr, 06.01.2016

Und wieder hilft diese Umformung:

\sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}

anonymous

17:26 Uhr, 06.01.2016

"Weiß jemand woran es hapert?"

lim (\infty - \infty)

ist ein klassischer Problemfall, wie er hier tausendfach in Prüfungsaufgaben wie dieser gestellt wird, und den du nicht einfach zu NULL schlussfolgern darfst.

anonymous

17:57 Uhr, 06.01.2016

Ich denke, ich hab's jetzt. Wurzel loswerden durch Erweiterung à la drittes Binom:

lim_{n \to \infty} \sqrt{n^{4} - n^{2}} - n^{2} | \cdot \frac{\sqrt{n^{4} - n^{2}} + n^{2}}{\sqrt{n^{4} - n^{2}} + n^{2}}

= \frac{n^{4} - n^{2} - n^{4}}{\sqrt{n^{4} + n^{2}} + n^{2}}

= - \frac{n^{2}}{\sqrt{n^{4} \cdot (1 + \frac{1}{n^{2}})} + n^{2}}

= - \frac{n^{2}}{n^{2} (\sqrt{(1 + \frac{1}{n^{2}})} + 1)}

= - \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = - \frac{1}{2}

anonymous

18:03 Uhr, 06.01.2016

Bingo!

Genauer gesagt - rein formal noch:
Solange du den Grenzübergang noch nicht gemacht hast, solltest du natürlich nicht zu faul sein, dieses

' lim'

auch noch davor zu schreiben.

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