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Grenzwert einer Folge mit injektiver Abbildung

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

 
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m138034

m138034 aktiv_icon

18:42 Uhr, 24.11.2022

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Hallo, ich arbeite gerade an folgender Aufgabe:
Sei (an)n∈N eine konvergente Folge reeller Zahlen mit Grenzwert a ∈ R und sei φ: NN eine injektive Abbildung. Zeigen Sie, dass die Folge aφ(n) ebenfalls konvergent ist mit Grenzwert a.

Ich hätte folgenden Ansatz mit dem ε-Beweis:

Es gilt also |an -a|< ε, für alle n>
Wenn man nun annimmt, es gäbe ein Nε‘ := max{φ(n)|n<= Nε} dann gilt insbesondere |an-a| < ε für n> Nε‘
Nε‘ liegt dann ja noch „näher“ an der Umgebung und ist eine obere Grenze für die Folge aφ(n), n Nε.

Ab hier bin ich mir sehr unsicher ob ich damit argumentieren kann, dass (aφ(n)), n Nε quasi „unter“ (an) liegt. Ich würde mich über Ratschläge freuen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Antwort
Punov

Punov aktiv_icon

19:17 Uhr, 24.11.2022

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Hallo, m138034!

Ich verstehe dein Argument nicht.

Wenn du Nɛʹ:=max{φ(n):nNɛ} definierst, woher weißt du dann, dass dieses Maximum größer oder gleich Nɛ ist damit an-a<ɛ für alle nNɛʹ gilt? Es könnte doch auch sein, dass φ(n)<Nɛ für alle nNɛ.


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Ich skizziere mal einen Beweis:

Also erstmal sauber formulieren, was es heißt, dass (an)n gegen a konvergiert:

Sei ɛ>0. Dann gibt es ein n0, sodass an-a<ɛ für alle nn0.

Jetzt verwende, dass φ injektiv ist: Es existiert deswegen ein n1, sodass φ(m)n0 für alle mn1.

Der Rest ist dann einfach.


Viele Grüße
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