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Grenzwert einer Reihe berechnen.

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Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Reihen

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21:54 Uhr, 03.12.2011

Den Grenzwert dieser Reihe soll berechnet werden:

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2^{k - 3}}{3^{k + 2}}

Ich wäre dankbar wenn man mir direkt den Lösungweg zeigt aber da ich weiß das es nicht gern gemacht wird wäre ich für jede Hilfe dankbar zu dieser späten Stunde :-D)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

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22:03 Uhr, 03.12.2011

Führe die unendliche Reihe zurück auf die geometrische Reihe

\sum_{k = 1}^{\infty} q^{k}

und verwende dann

\sum_{k = 1}^{\infty} q^{k} = \frac{q}{1 - q}

für

| q | < 1

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22:20 Uhr, 03.12.2011

Danke für den Tipp ich es soweit zurückgeführt und weiß nciht was ich jetzt tun muss:

\frac{(2)^{k} \cdot (2)^{- 2}}{(3)^{k} \cdot (3)^{3}}

Muss ich jetzt

\frac{2^{k}}{3^{k}}

vor das Summenzeichen setzen oder wie? Oder kann ich die k wegkürzen?

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22:25 Uhr, 03.12.2011

Wie kommst du auf deine Umformung? Die ist nämlich falsch. Also die Idee mit den Potenzgesetzen zu vereinfachen ist schon richtig, aber die Umsetzung ist falsch. Versuch es nochmal. Und du darfst nur Faktoren, die nicht vom Laufindex

k

abhängen (also konstante Faktoren) vor das Summenzeichen schreiben.

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22:34 Uhr, 03.12.2011

Ich habe es so gemqacht:

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2^{k - 3}}{3^{k + 2}} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{2^{k - 2}}{3^{k + 3}} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{2^{k} \cdot 2^{- 2}}{3^{k} \cdot 3^{- 3}}

Kannst du mir dann vllt gleich sagen wo der Fehler ist? Bin müde und will das heute noch zuende bringen. Nur wenn du willst natürlich. Ich habe eben gesagt das ich einen Fehler hatte im Ausgangspost. So wie die Aufgabe in dieses post gestellt ist ist sie richtig!

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22:49 Uhr, 03.12.2011

Bilde ich mir das nur ein, oder sah die Reihe vor paar Minuten nicht noch etwas anders aus?
Was du jetzt geschrieben hast sollte richtig sein, allerdings muss es im Nenner

3^{k + 3} = 3^{k} \cdot 3^{3}

heißen. Ziehe dann die konstanten Faktoren vor das Summenzeichen und schreibe

\frac{2^{k}}{3^{k}} = {(\frac{2}{3})}^{k}

. Dann kannst du die geometrische Summenformel anwenden.

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22:51 Uhr, 03.12.2011

Nein das war keine Einbildung ich habe versehntlich den Nenner einer andeeren Aufgabe in diese reingeschrieben :-D) Ich versuche dann mal weiter die zu lösen und melde mich dann wenn ich was habe.

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22:52 Uhr, 03.12.2011

Mach das...

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22:57 Uhr, 03.12.2011

Ist der Grenzwert

\frac{1}{12}

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23:00 Uhr, 03.12.2011

Ich erhalte

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2^{k - 3}}{3^{k + 2}} = \frac{1}{36}

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23:07 Uhr, 03.12.2011

Stimmt habe an einer Sterlle die hoch drei weggelassen :-) Ich danke dir vielmals und entschuldige mich falls ich dir heute etwas auf die nerven gegangen bin ;-)

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23:08 Uhr, 03.12.2011

Gern geschehen. ;-)

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