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Grenzwert einer komplexen Folge

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Komplexe Analysis

Tags: Komplexe Analysis

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MarPort

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15:05 Uhr, 02.03.2017

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Hallo,

ich habe einer Frage zu dieser Aufgabe. Ich soll den Grenzwert dieser komplexen Folge

a_{n} = (\frac{i}{i + 1})^{n}

bestimmen.
Ich habe so angefangen:

(\frac{i}{i + 1})^{n} = \frac{i^{n}}{(i + 1)^{n}}

.
Nun habe ich in meinem Skript gefunden, dass eine komplexe Folge

z_{n}

gegen

z_{0}

konvergiert, wenn die reelle Folge

(∣ z_{n} - z_{0} ∣)

in

ℝ

gegen Null konvergiert.
Ich weiß, dass die Folge

a_{n}

gegen Null konvergiert. Aber ich weiß nicht wie ich nun zeigen soll, dass der Betrag von dieser Folge eine Nullfolge ist.
Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Nachhilfe in Mathematik

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Simor

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15:28 Uhr, 02.03.2017

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Das solltest du eigentich recht einfach mit Umformungen zeigen können:

| {(\frac{i}{i + 1})}^{n} - 0 | = | {(\frac{i}{i + 1})}^{n} | = {(| \frac{i}{i + 1} |)}^{n} = {(\frac{| i |}{| i + 1 |})}^{n} = . .

.

MarPort

MarPort aktiv_icon

11:01 Uhr, 03.03.2017

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Kann ich dann so weiter machen?

. . . = \frac{∣ i ∣^{n}}{∣ i + 1 ∣^{n}}

. Und da

∣ i ∣ < ∣ i + 1 ∣

ist ist auch

∣ i ∣^{n} < ∣ i + 1 ∣^{n} \forall n \in ℕ

und damit ist die Folge eine Nullfolge.

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ermanus

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11:25 Uhr, 03.03.2017

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Hallo,
nimm doch mal den letzten Ausdruck von Simor und ersetze darin

∣ i ∣

und

∣ i + 1 ∣

durch ihre reellen Werte! Dann siehst Du bestimmt klarer.

MarPort

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11:44 Uhr, 03.03.2017

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So vielleicht?

(\frac{∣ i ∣}{∣ i + 1 ∣})^{n} = (\frac{∣ i ∣}{∣ i + 1 ∣})^{\frac{2 n}{2}} = (\frac{∣ i ∣^{2}}{∣ i + 1 ∣^{2}})^{\frac{n}{2}} = (\frac{∣ - 1 ∣}{∣ i^{2} + 2 i + 1 ∣})^{\frac{n}{2}} = (\frac{1}{∣ 2 i ∣})^{\frac{n}{2}} = (\frac{1}{∣ 2 i ∣})^{\frac{2 n}{4}} = (\frac{1^{2}}{∣ 2 i ∣^{2}})^{\frac{n}{4}} = (\frac{1}{4})^{\frac{n}{4}}

.
Und für

n

gegen Unendlich konvergiert das gegen Null.

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ermanus

ermanus aktiv_icon

11:54 Uhr, 03.03.2017

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Interessante Methode ;-)
Wenn Du den letzten Ausdruck noch umformst in

(\frac{1}{\sqrt{2}})^{n}

, dann
bist Du fertig. Aber warum machst Du alles so umständlich?
Man hat doch "sofort"

∣ i ∣ = 1

und

∣ i + 1 ∣ = \sqrt{2}

. Mal doch mal für

i

und

i + 1

die entsprechenden Pfeile in die

ℂ

-Ebene und frag nach ihrer Länge!
Gruß ermanus

MarPort

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12:03 Uhr, 03.03.2017

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Wir haben komplexe Zahlen nicht so richtig behandelt in unserer Vorlesung. Wie zeichne ich denn so etwas?

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ermanus

ermanus aktiv_icon

12:08 Uhr, 03.03.2017

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Die komplexe Ebene sieht genauso aus wie die reelle Ebene

ℝ^{2}

.
Die komplexe Zahl

a + b \cdot i

entspricht dem reellen Vektor

(a, b)

.
Also entspricht

i

dem Vektor

(0, 1)

und

1 + i

dem Vektor

(1, 1)

.
Überdies hast Du doch sicher die Formel

∣ a + b i ∣ = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

gehabt.
Das ist offenbar "der Pythagoras".

MarPort

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12:09 Uhr, 03.03.2017

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Okay hab etwas gefunden.

∣ 1 + i * 1 ∣ = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}

. Aber ich weiß immer noch nicht wie ich so etwas zeichne.

Frage beantwortet

MarPort

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12:11 Uhr, 03.03.2017

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Habs jetzt verstanden. Danke :-).

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