 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Grenzwert einer rekursiven Folge
Grenzwert einer rekursiven Folge
Universität / Fachhochschule
Folgen und Reihen
Tags: Folgen und Reihen
 
|
  |
|---|
|
Frohes Neues wünsch ich Euch! Kann mir jemand zeigen, wie man den Grenzwert von dieser rekursiven Folge bestimmt?  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff) Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige Grenzwerte |
|
 |
|
Hallo Mein Lehrer hat uns immer eingebleut: Wenn wir mal den Grenzwert erreicht haben, dann wird doch wohl sowohl als auch diesem gehorchen. Dazu geben wir dem Grenzwert doch mal einen Namen, "g" und machen uns klar, dass dann sowohl als auch ist. Willst du mal weiter? |
|
|
|
Hallo, du kannst auch den Grenzwert der expliziten Folge berechnen: Das ist natürlich wie mit Kanonen auf Spatzen zu schießen. :-) Gruß pivot |
 |
|
Dein Tipp klingt stark nach Induktion^^ Ich bin jetzt alle Schritte durchgegangen und konnte zeigen, dass sowohl als auch ist. Ich habe aus Spaß noch ein paar weitere Folgenglieder ausgerechnet und gesehen. Dass sich die Folge immer weiter annähert, aber anscheinend nie erreicht. Heißt das also, dass man mit der Vollständigen Induktion so einfach zeigen kann, dass der Grenzwert ist oder muss man das noch irgendwie "formaler" aufschreiben? |
|
|
|
Mein Tipp deutet rein überhaupt nicht auf Induktion. Viel viel einfacher... |
|
|
|
@Wurzelbehandlung Vergiss dein Crossposting nicht: www.matheboard.de/thread.php?threadid=597944 |
|
|
|
Wenn du gezeigt hast, dass die Folge nach oben beschränkt ist (z.B. durch ) und monoton wächst, dann kann man den Grenzwert x berechnen durch <=> |
|
|
|
www.mathelounge.de/791030/zeigen-sie-induktiv-dass-x-n-4-3-ist#c791407 |
|
|
|
Ok ich glaube ich habs. Wenn man davon ausgeht, dass die Folge beschränkt und hier in dem Fall monoton wachsend ist, könnte man einfach mit einer Fixpunktgleichung den Grenzwert bestimmen und hätte so raus? |
|
|
|
Wenn du verrätst, was du unter "Fixpunktgleichung" verstehst und wie du zu "...und hätten so raus" gekommen bist, dann wollen wir ja auch gerne Zuversicht teilen. Vielleicht müssten wir dann auch nicht immer mit neuen Fragezeichen abschließen... |
|
|
|
Natürlich, Verzeihung. ich habe bei der Folge alle mit ersetzt und erstmal die Gleichung aufgestellt. Dann alle auf eine Seite gebracht bzw. nach umgestellt und als Ergebnis bekommen. Wenn man also davon ausgeht, dass diese Folge hier monoton wachsend und beschränkt ist, kann man also davon ausgehen, dass der Grenzwert ist. |
|
|
|
Ja, korrekt. Um es nochmals in meine Worte zu fassen. Wenn wir nach vielen vielen iterativen Zyklen davon ausgehen dürfen, dass wir Konvergenz gefunden haben, dann wird doch sowohl irgend ein Wert den Grenzwert erzielen, als auch der nachfolgende Wert den Grenzwert erzielen. Wir haben die Funktionsgleichung Unter obigem Gedanken gilt eben: Also wird aus der Funktionsgleichung Siehe da, eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten: dem Grenzwert . Der Rest ist einfach Umstellen nach also nach dem Grenzwert. Da hast du sehr berechtigt heraus bekommen. Das war weder irgend eine iterative, numerische Fixpunkt-Methode, noch ein Hexenwerk, sondern einfach explizite Umstellung. Beachte: Wir sind hierbei davon ausgegangen, dass das Verfahren konvergiert. Einige meiner Kollegen heben sehr berechtigt darauf ab, dass du auch noch getrennt die Konvergenz hinterfragen sollen wirst. Ich für meinen Teil und aus diesen ungefähr 10-mal Frage-Antwort-Hin-und-Her bin schon sehr glücklich, dass wir jetzt wenigstens die Original-Fragestellung "Kann mir jemand zeigen, wie man den Grenzwert von dieser rekursigen Folge bestimmt?" hoffentlich verständlich beantworten konnten. In nochmals anderen Worten: Wenn wir davon ausgehen dürfen, dass die Folge einen Grenzwert hat, also damit auch konvergent ist, dann können wir diesen Grenzwert gemäß diesem Gedankengang leicht errechnen... :-) |
|
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
|
1525675
1525536