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Grenzwert mit Nachweis bestimmen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

Sophia77 aktiv_icon

23:01 Uhr, 08.01.2025

Hallo, ich habe mich eben noch an eine Übung gewagt.

Ich wäre sehr dankbar, wenn ihr darüber schauen könntet.

Gegeben ist der Ausdruck

lim_{n \to \infty} \frac{n - \sqrt{n} + 7}{2 n + \sqrt{n} + 3}

.

Wir klammern im Zähler und Nenner

n

aus und kürzen direkt:

lim_{n \to \infty} \frac{n - \sqrt{n} + 7}{2 n + \sqrt{n} + 3}

= lim_{n \to \infty} \frac{n (1 - \frac{\sqrt{n}}{n} + \frac{7}{n})}{n (2 + \frac{\sqrt{n}}{n} + \frac{3}{n})}

= lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{7}{n}}{2 + \frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{3}{n}}

.

Da

lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0

lim_{n \to \infty} \frac{7}{n} = 0

\ t e x t u n d lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} = 0

,
gilt:

lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{7}{n}}{2 + \frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{3}{n}}

= \frac{1 - 0 + 0}{2 + 0 + 0} = \frac{1}{2}

.

Sei

ε > 0

gegeben. Wir wollen zeigen, dass es ein

N \in ℕ

gibt, sodass für alle

n \geq N

gilt:

∣ \frac{n - \sqrt{n} + 7}{2 n + \sqrt{n} + 3} - \frac{1}{2} ∣ < ε

.

Wir betrachten den Ausdruck:

∣ \frac{n - \sqrt{n} + 7}{2 n + \sqrt{n} + 3} - \frac{1}{2} ∣

= ∣ \frac{2 (n - \sqrt{n} + 7) - (2 n + \sqrt{n} + 3)}{2 (2 n + \sqrt{n} + 3)} ∣

= ∣ \frac{- 3 \sqrt{n} + 11}{2 (2 n + \sqrt{n} + 3)} ∣

.

Wir klammern im Nenner

n

aus und kürzen:

∣ \frac{- 3 \sqrt{n} + 11}{2 (2 n + \sqrt{n} + 3)} ∣

= \frac{∣ - 3 \sqrt{n} + 11 ∣}{2 n (2 + \frac{\sqrt{n}}{n} + \frac{3}{n})}

= \frac{\frac{∣ - 3 \sqrt{n} + 11 ∣}{n}}{2 (2 + \frac{\sqrt{n}}{n} + \frac{3}{n})}

= \frac{\frac{3}{\sqrt{n}} + \frac{11}{n}}{4 + \frac{2}{\sqrt{n}} + \frac{6}{n}}

.

Da

lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n}} = 0

lim_{n \to \infty} \frac{11}{n} = 0

lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{n}} = 0

\ t e x t u n d lim_{n \to \infty} \frac{6}{n} = 0

,
gibt es ein

N \in ℕ

, sodass für alle

n \geq N

gilt:

\frac{\frac{3}{\sqrt{n}} + \frac{11}{n}}{4 + \frac{2}{\sqrt{n}} + \frac{6}{n}} < ε

.

Damit folgt:

∣ \frac{n - \sqrt{n} + 7}{2 n + \sqrt{n} + 3} - \frac{1}{2} ∣ < ε

.

Da für jedes

ε > 0

ein

N \in ℕ

existiert, sodass die Bedingung erfüllt ist, folgt:

lim_{n \to \infty} \frac{n - \sqrt{n} + 7}{2 n + \sqrt{n} + 3} = \frac{1}{2}

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

mathadvisor aktiv_icon

23:17 Uhr, 08.01.2025

Hier fehlt die Aufgabe, was ist mit dem Ausdruck? Soll Konvergenz des Bruches gezeigt werden?
Das geht viel kürzer mit Grenzwertsätzen, ohne

ɛ

, und das hast Du ja auch gemacht.
Wichtig: limes darf man erst schreiben, wenn die Konvergenz gesichert ist, die ist hier aber zu zeigen.

Notation:

\frac{n - \sqrt{n} + 7}{2 n + \sqrt{n} + 3} = . . . = . . . \to ½

für

n \to \infty

, erster Schritt ist

n

ausklammern usw. Nochmal (weil's oft falsch gemacht wird): Umformungen OHNE limes!
Damit fertig. Den Rest kann man sich sparen, den ganzen Kram mit

ɛ

eben.

Sophia77 aktiv_icon

23:26 Uhr, 08.01.2025

Ach entschuldigung, da hatte ich im Eifer des Gefechts die Aufgabenstellung vergessen:

Bestimmen Sie den Grenzwert:

lim_{n \to \infty} \frac{n - \sqrt{n} + 7}{2 n + \sqrt{n} + 3} .

(Mit Nachweis)

Achso, man macht Umformungen immer ohne den limes! Irgendwie hatte das unser Übungstutor immer mit dem limes gemacht oder gilt dies nur für Aufgabenstellungen "Zeigen Sie, dass..."?

mathadvisor aktiv_icon

23:31 Uhr, 08.01.2025

Man darf auch Tutoren ruhig genau auf die Finger schauen und nachfragen, was er da warum tut.
Es kommt hier eben darauf an, ob man annehmen darf, dass der Grenzwert existiert, oder ob man die Existenz des Grenzwerts noch nachweisen soll. Das ist nicht klar in der Aufgabenstellung.

calc007

23:34 Uhr, 08.01.2025

Ich halte die häufig zu beobachtende Faulheit, drei Buchstaben

' lim'

zu schreiben nicht für "man macht also...", sondern eben für Faulheit.
Formal ist es sicherlich nicht verkehrt, einen Grenzwert auch mit

' lim'

formal unanfechtbar darzustellen.

HJKweseleit aktiv_icon

23:37 Uhr, 08.01.2025

Alles ok. Brüche immer im Zähler und Nenner mit der höchsten n-Potenz des Nenners kürzen.

Der 2. Teil ist ganz überflüssig, du machst eigentlich (mit einem komplizierteren Ausdruck) nichts anderes als im 1. Teil, fügst nur das

< ε

dazu.

Wenn du wirklich die Epsilontik durchziehen wolltest, müsstes du schreiben: Für jedes

ε > 0

wähle ich ein N>... (und hier muss dann ein Ausdruck als Funktion von

ε

stehen), so dass für alle n>N gilt: ...

Und dann schreibst du den Term aus deinem 2. Teil hin und zeigst mit Hilfe der jeweils vorkommenden n-s, dass das Ganze

< ε

wird. Ich kenne aber niemanden, der sich das zumuten würde.

Also: Der erste Teil reicht! (Aber alles ist richtig)

Sophia77 aktiv_icon

00:39 Uhr, 09.01.2025

Danke für eure Antworten! :-)

Ich war wegen dem (mit Nachweis) so verwirrt und dachte, dass ich das mit dem Epsilon-N-Argument noch nachweisen soll.

Ist aber dann überflüssig meintet ihr. Muss ich wegen (mit Nachweis) noch etwas ergänzen?

KL700 aktiv_icon

05:09 Uhr, 09.01.2025

Mein 1. Gedanke wäre hier, den sich L'Hospital anzuwenden, da Zähler und Nenner offensichtlich gegen

\infty

gehen.

lim_{n \to \infty} = \frac{1 - \frac{1}{2 n^{0,5}}}{2 + \frac{1}{2 n^{0,5}}}

= \frac{1 - 0}{2 + 0}

= \frac{1}{2}

Ausklammern führt aber auch schnell ans Ziel.
Hochschulniveau hat diese Aufgabe

m . E

. nicht.

pwmeyer aktiv_icon

07:36 Uhr, 09.01.2025

Hallo,

Du hast in Deinem ersten Teil die Grenzwertsätze und elementare Informationen über die Konvergenz von

\frac{1}{n}

bzw.

\frac{1}{\sqrt{n}}

angewendet. Das ist ein Nachweis dafür, dass die Folge konvergiert, und ebenso eine Berechnung des Grenzwerts. Also fertig.

Wenn, nachdem die Grenzwertsätze besprochen sind, ein Konvergenznachweis über das epsilon-N-Kriterium erwartet wird, dann sollte das explizit verlangt werden.

Viele Grüße
pwm

HAL9000

08:53 Uhr, 09.01.2025

Ich versteh auch nicht, was der ganze zweite Teil ab "Sei

ε > 0

gegeben. ..." bezwecken soll:

Der Grenzwert wurde doch vorher schon nachgewiesen, damit gibt es auch ein solches

N

, Punkt.

Was anderes wäre es, wenn man explizit ein solches

N = N (ε)

angeben soll, etwa mit einer konkreten Formel. Das könnte man so bewerkstelligen:

∣ \frac{n - \sqrt{n} + 7}{2 n + \sqrt{n} + 3} - \frac{1}{2} ∣ = ∣ \frac{- 3 \sqrt{n} + 11}{2 (2 n + \sqrt{n} + 3)} ∣ = \frac{3 \sqrt{n} - 11}{4 n + 2 \sqrt{n} + 6}

die letztere Betragsauflösung gilt für

n \geq 14

. Hinreichend für

\frac{3 \sqrt{n} - 11}{4 n + 2 \sqrt{n} + 6} < ε

ist nun (durch Vergrößerung des Zählers und Verkleinerung des Nenners)

\frac{3 \sqrt{n}}{4 n} \leq ε

, was umgestellt

n \geq \frac{9}{16 ε^{2}}

ergibt. Eine mögliche Antwort ist somit

N (ε) = max {14, \frac{9}{16 ε^{2}}}

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