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Grenzwert von Folgen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

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15:31 Uhr, 21.10.2020

Hallo,

seien die Folgen

m_{k + 1} = m_{k} + 2 n_{k}

und

n_{k + 1} = m_{k} + n_{k}

mit

m_{0} = n_{0} = 1

Wie kann man beweisen, dass die Folge der Brüche

\frac{m_{k}}{n_{k}}

gegen

\sqrt{2}

konvergiert?

MfG,
Noah

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

DrBoogie aktiv_icon

15:45 Uhr, 21.10.2020

Es gilt

\frac{m_{k + 1}}{n_{k + 1}} = \frac{m_{k} + 2 n_{k}}{n_{k} + m_{k}} = 1 + \frac{n_{k}}{n_{k} + m_{k}} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{m_{k}}{n_{k}}}

.

Wenn man

c_{k} = m_{k} / n_{k}

setzt, hat man also

c_{k + 1} = 1 + \frac{1}{1 + c_{k}}

. Wenn

c_{k} \to c

, dann folgt

c = 1 + \frac{1}{1 + c}

, woraus

c^{2} - 1 = 1

folgt und also

c = \sqrt{2}

.

Es bleibt zu beweisen, dass

c_{k}

konvergiert.

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16:15 Uhr, 21.10.2020

Kann man vielleicht argumentieren, dass

c_{k} = m_{k} / n_{k} = 1 + \frac{n_{k - 1}}{n_{k - 1} + m_{k - 1}} \leq 1 + \frac{n_{k - 1} + m_{k - 1}}{n_{k - 1} + m_{k - 1}} = 2

HAL9000

16:43 Uhr, 21.10.2020

Damit hast du

c_{k} \leq 2

nachgewiesen. Bleibt abzuwarten, ob du das beim Konvergenzbeweis sinnvoll einsetzen kannst. Die Folge

(c_{k})

ist nicht monoton, sie pendelt mit immer kleineren Abweichungen alternierend um den Grenzwert. Darauf ist im Beweis Rücksicht zu nehmen.

Eine exotische Variante wäre z.B., direkt die expliziten Darstellungen von

(n_{k})

und

(m_{k})

auszurechnen bzw. nachzuweisen:

n_{k} = \frac{{(1 + \sqrt{2})}^{k + 1} - {(1 - \sqrt{2})}^{k + 1}}{2 \sqrt{2}}

und

m_{k} = \frac{{(1 + \sqrt{2})}^{k + 1} + {(1 - \sqrt{2})}^{k + 1}}{2}

.

-----------------------------------------

Eine elegantere Variante: Es ist

m_{k + 1} - \sqrt{2} n_{k + 1} = m_{k} + 2 n_{k} - \sqrt{2} (m_{k} + n_{k}) = (m_{k} - \sqrt{2} n_{k}) (1 - \sqrt{2})

daraus folgt unmittelbar

m_{k} - \sqrt{2} n_{k} = (m_{0} - \sqrt{2} n_{0}) {(1 - \sqrt{2})}^{k} = {(1 - \sqrt{2})}^{k + 1} \to 0

für

k \to \infty

,

und von da zu

\frac{m_{k}}{n_{k}} \to \sqrt{2}

sollte kein größeres Problem mehr sein.

DrBoogie aktiv_icon

18:41 Uhr, 21.10.2020

Eine andere Möglichkeit wäre, über Kettenbrüche zu gehen:
die Gleichung

c_{k + 1} = 1 + \frac{1}{1 + c_{k}}

sagt nämlich (zusammen mit

c_{0} = 1

), dass

c_{k}

als ein endlicher Kettenbruch

1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + . . .}}

darstellbar ist (streng genommen, wird das per Induktion gezeigt, was in diesem Fall aber sehr einfach ist). Diese Kettenbrüche konvergieren natürlich gegen den entsprechenden unendlichen Kettenbruch. Und dass dieser

\sqrt{2}

ist, ist eigentlich eine bekannte Tatsache. Die aber nicht mehr bewiesen werden muss (der Beweis geht auch genauso wie ich das schon oben geschrieben habe).

NFFN1 aktiv_icon

16:34 Uhr, 22.10.2020

Super, habs verstanden.
Danke

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